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APLICACIONES DE LAS SERIES
DE FOURIER





La ecuaci´on de ondas

En este apartado vamos a usar las series de Fourier para resolver la ecua- cion de ondas unidimensional
∂2
∂t2 u(x, t) = a
con las condiciones de contorno
2 ∂2
∂x2 u(x, t),



y las condiciones iniciales
u(0, t) = u(π, t) = 0, (1.1)



∂
u(x, 0) =f (x),
u(x, 0) = g(x). (1.2)
∂t
Esta ecuaci´on, conocida como ecuaci´on de ondas, modeliza el movimiento de una onda unidimensional (por ejemplo el sonido).

Usualmente para resolver este problema se usa el m´etodo de separacion de variables:

u(x, t) = X (x)T (t), X (x) 6≡ 0, T (t) 6≡ 0,

que al sustituir en la ecuacion original nos da

X (x)T00(t) = a2X 00(x)T (t), ⇒

X 00(x)
=

1 T 00(t)

= −λ,

donde λ ∈ R, i.e., tenemos las ecuaciones1
X (x)
a2 T (t)
X 00(x) + λX (x) = 0, X (0) = X (π) = 0, (1.3)

1 Como u(0, t) = 0 = x(0)T (t), se deduce X (0) = 0 pues en caso contrario T (t) ≡ 0, lo que sera una contradiccion.





y
T 00(t) + a2λT (t) = 0 (1.4)Por sencillez asumiremos a = 1.

La solucion general de (1.3) depende del valor de λ. Es facil comprobar que solamente se tienen soluciones no nulas si λ > 0. En este caso la soluci´on general es
X (x) = α cos √λx + β sen √λx,

que junto a las condiciones de contorno para X nos dan las soluciones

Xn(x) = sen nx, λ := λn = n2 .

En este caso para T obtenemos (a = 1)

T 00(t) +n2T (t) = 0,

luego


Tn(t) = An cos nt + Bn sen nt,
y por tanto una soluci´on de nuestra ecuaci´on con las condiciones de contorno
(1.1) ser´a
un(x, t) = (An cos nt + Bn sen nt) sen nx.
Como la ecuaci´on de ondas es lineal y homog´enea entonces su soluci´on general ser´a de la forma
∞ ∞
u(x, t) = X un(x, t) = X(An cos nt + Bn sen nt) sen nx. (1.5)
n=1
n=1Para encontrar los coeficientes indeterminados An y Bn supondremos que f
y g son lo suficientemente buenas (por ejemplo casi-continuamente derivables en [0, π]) y vamos a extenderlas a todo el intervalo [−π, π] de forma impar,
es decir de forma que f y g sean funciones impares. Entonces podemos de- sarrollar en serie de Fourier ambas funciones y adem´as las correspondientes seriesson absoluta y uniformemente convergentes. Si ahora usamos las las condiciones iniciales (1.2) obtenemos2

∞
u(x, 0) = f (x) = X An sen nx,
n=1

2 Suponiendo que la serie (1.5) se pueda derivar t´ermino a t´ermino respecto a t.









donde
∞
u(x, 0) = g(x) = X nBn sen nx,
∂t
n=1
2 Z π
An =
0

2
f (x) sen nx dx, Bn = nπ
Z π
g(x) sen nx dx. (1.6)0

Veamos un ejemplo. Supongamos que el perfil inicial de una cuerda viene dado por la funci´on
 Ax
 0 ≤ x ≤ a
f (x) = 

a
A(π − x) a ≤ x ≤ π, π − a

y que inicialmente est´a en reposo, es decir, g(x) = 0. Entonces usando (1.6)
tenemos Bn = 0 para todo n ∈ N y
2 Z π
An =
0

2A sen an




f (x) sen nx dx = , an2(π − a)

as´ıque la soluci´on es


2A ∞



sen an
u(x, t) =
X cos nt sen nx.
a(π − a) n=1 n

Supongamos ahora que el perfil inicial de una cuerda viene dado por la funci´on


y que inicialmente est
f (x) = αx(π − x)
en reposo, es decir, g(x) = 0. Entonces usando (1.6)
tenemos Bn = 0 para todo n ∈ N y
2 Z π


4α(1 + (−1)n+1 )
An = π
f (x) sen nx dx =
0
n3π,

y por tanto la soluci´on es

8α ∞ 1
u(x, t) =
X cos(2n 1)nt sen(2n 1)x.
π (2n 1)3
n=1





Como ejercicio considerar el caso cuando
 π
x 0 ≤ x ≤ ,
 π
f (x) =

3π
4 4 ≤ ≤ 4
y g(x) = 0.
π − x 3π ≤ x ≤ π.

y el caso cuando f (x) = 0,


g(x) =



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