Control

Criterios de Estabilidad de Routh y Jury
M.I. Ricardo Garibay Jimenez 2010

Criterio de Routh
Un polinomio
A(s)  a0 s n  a1s n 1  ...  an 1s  an

tiene raíces estables (con parte real negativa) si se cumplen 2 condiciones. Necesidad Suficiencia



todos los coeficientes y son positivos

El signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh sea positivo.Para el arreglo de Routh se tiene
sn s n 1 s n2   s0 a0 a1 b0 c0  b a2 a3 b1 c1       bP 1  c P 1  an

donde

b0 

a1 a 2  a0 a3 a1

b1 

a1a4  a0 a5 a1

b a  b1 a1 c0  0 3 b0

En la tabla completa se observa el número de raíces inestables como el cambio de signos que presenta la primera columna del arreglo.

Ejemplo 1 Determinar si el polinomio A(s)  s3 3s 2  3s  1 tiene raíces inestables s3 1 3

s2 s s0

3 1 8 0 3 1

Al no tener cambios de signo en la primera columna se concluye que no tiene raíces inestables y por lo tanto el sistema es estable. Ejemplo 2 3 2 Determinar si el polinomio A(s)  s  s  s  1 tiene raíces inestables

s3 s2 s s0

1 1 2 1

1 1 0

Tiene raíces inestables, aunque esto puede ser apreciado fácilmente yaque uno de los coeficientes del polinomio es negativo. El arreglo de Routh nos permite ver dos cambios de signo en la primera columna lo que significa dos raíces inestables.

Aplicación de Control

Función de transferencia de malla

KC ( s  1) 3
Función de transferencia de malla cerrada

KC Kc C (s) ( s  1)3   3 KC R( s) s  3s 2  3s  (1  K c ) 1 ( s  1)3
El intervalo devalores K C  0 en el que los polos de malla cerrada son estables.

Criterio de Routh de Malla cerrada
A(s)  s3  3s 2  3s  1  Kc
s3 s2 s s0 1 3 8  KC 3 1  KC 3 1  KC 0  8  KC  0 , Kc  8 3  1  K c  0 , K c  1
1  KC  8
0  KC  8

Finalmente

Por Matlab se comprueba: Con

KC  8

queda

A(s)  s3  3s 2  3s  9

Observar el arreglo de Routh

s3 s2 s s0

1 3 0 9

3 9 0

Cuando un término de la primera columna resulta nulo y se requiere terminar el arreglo de Routh lo que procede es asumir un número positivo muy pequeño para terminar de calcular el arreglo y con esto determinar todos los coeficientes

Conclusion
. Si K C  8

se tienen 2 raíces inestables

Estabilidad en Sistemas de Control

La función de transferencia de malla

Gc(s)G p (s) H (s)
Gc ( s)G p ( s) Y ( s)  R( s) 1  Gc ( s)G p ( s) H ( s)

Y para la función de transferencia de malla cerrada

Si

Gc ( s)G p ( s) H ( s) 

Kc K  3 ( s  1) 3 s  3s 2  3s  1

La función de transferencia de malla cerrada

Y ( s) Kc  3 2 R( s) s  3s  3s  1  k c

El intervalo de K c

donde el sistema de control de malla cerrada es estable

s3 s2 s s0

13 3 (1  k c )  8  kc  0    3  (1  k c )

El intervalo de Kc donde los polos de malla cerrada son estables, es decir se encuentran en el lado izquierdo del plano de Laplace
1  Kc  8

Comprobando con Matlab
Entrada escalon unitario

K c =1

Con K c =8

K c =10

Criterio de Jury

La función de transferencia de malla

Gc ( z )G p ( z ) H ( z )
La función detransferencia de malla cerrada Gc ( z )G p ( z ) Y ( s)  R( s) 1  Gc ( z )G p ( z ) H ( z ) En el plano Z los polos estables se encuentran en el interior de la circunferencia unitaria centrada en el origen.

Criterio de Estabilidad de Jury para un polinomio

A( z )  a0 z n  a1 z n1  ...  a n1 z  an
El criterio define el numero de raíces de A(z) que se ubica dentro del circulo unitario delplano Z. Se requiere que el coeficiente a 0 positivo Condiciones

a0  0 A( z )
z 1

0

El arreglo de coeficientes es el siguiente:
R1 R2 R3 a0 b0 c0 a1 a 2 b1 b 2 c1 c 2 a3 an bn  1 0 cn  2 0 0

bi  ai  an  i1
Donde

b0  a0  an1 b1  a1  an 11 bn  an  a01

c j  b j  b( n 1)  j 2 cn 1  0

an 1  a0

bn1 2  b0

Conforme el grado del polinomio es...