Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES.
Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r, ), donde r se mide desde el origen y es el ángulo entre r y el eje x (verfigura).


Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que:


Las dos ecuaciones anteriores permitenexpresar las coordenadas cartesiana en términos de las polares.
Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas en la forma:


En forma vectorial podemosescribir

Es posible introducir una pareja de vectores unitarios y perpendiculares, en las direcciones en que se incrementan r y . Estos vectores se expresan en términos de y .

Obsérvese queRecíprocamente:

en la ecuación (1) es fácil concluir que:



EJERCICIOS.
a) Demostrar que en coordenadas polares la velocidad está dada por:


donde,


Solución.
Podemos escribir para lavelocidad,

Pero de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3):



Y por consiguiente, al reemplazar en (4) se sigue que:

b) Demostrar que en coordenadas polares, la aceleración está dada por:

Solución.Según la definición de aceleración


y utilizando la expresión para de la parte a) resulta que:


c) Utilizando la expresión de la aceleración, obtenida en el literal b), hallar las ecuaciones demovimiento de una partícula sometida a una fuerza central.
Solución.

Ante todo, la expresión general para una fuerza central tiene la forma:
, donde es una función solo de la coordenada .
Ahorabien, la ecuación (6) para la aceleración nos permite expresar la fuerza como:
,


Y al igualar los coeficientes de los vectores unitarios correspondientes, encontramos que las ecuaciones de movimientose pueden expresar como,

d) Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central su momento angular se conserva y su trayectoria es una curva plana.
Solución.
El principio de...