Crepusculo

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Logique élémentaire. Notion d’ ensemble. Opérations sur les ensembles.
A: LOGIQUE 1.1. RÈGLES DU JEU Vous savez par expérience qu’ cours de mathématiques est constitué d’ un une suite d’ énoncés, appelés dé…nitions ou propositions1 . Les dé…nitions sont posées a priori et les propositions doivent être démontrées á l’ aide de dé…nitions ou d’ autres propositions déjà établies.C’ cetredémarche, qui consiste à passer est avec logique, prudence et rigueur les di¤érentes étapes d’ raisonnement mathun ématique, que nous allons essayer de codi…er maintenant. Bien sûr, cette conduite est étroitement dépendante de la langue dans laquelle nous nous exprimons. Il nous a cependant paru utile de dégager quelques règles de logique universelle. 1.2. PROPOSITIONS

Une propositions est un énonce(une assertion) dont on peut a¢ rmer sans ambiguïté s’ est vrai ou faux. Par exemple 0 < 4 est une proposition(vraie) ; il 4 nombre irrationnel, est une proposition (fausse). 3 En revanche, certaines prévisions économiques, météorologiques, astrologiques, etc. ne sont pas au sens mathématique des proposions!

1.3. NÉGATION D’ UNE PROPOSITION

Si P est une proposition, on appelle négation de Pla proposition vraie si P est fausse si P est vraie. On la note non P ou P .
1 Certaines propositions très importantes sont appelées théorèmes. Celles qui ne servent qu’ en établir une autre sont dites lemmes (ou lemmes préparatories). En…n, on appelle à corollaire, une proposition conséquence immédiate d’ résultat que I’ vient d’ un on établir.

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En utilizant les abréviations V te F à laplace de vrai et faux, cette dé…nition peut se résumer dans le tableau suivant : P V F nonP F V

1.4. CONNECTEURS LOGIQUES À deux propositions P et Q, on peut associer une troisième R. On dit qu’ on dé…nit ainsi un connecteur logique ou plus simplementun connecteur entre ces deux propositions. Ètant donnèes deux proposition, on s’ aperçoit facilement que 4 cas peuvent se présenter. Elles sonttoutes les 2 vraies ou fausses (2cas) ou l’ une est vraie et l’ autre fausse (2cas); on peut résumer cela dans le tableau cidessous: P V V F F Q V F V F

Un connecteur est parfaitement dé…ni, quand pour chacun de ces 4 cas, on peut dire si la proposition R est vraie (V) ou fausse (F). Cela revient donc à dé…nir une application de l’ ensemble f(V V )(V F )(F V )(F F )g vers fV; F g et on sait qu’existe 24 =16 telles applications.2 il Nous n’ alons pas exhiber les 16 connecteurs logiques possibles mais préciser les 4 qui sont les plus utiles. 1.5. CONJONCTION. DISJONCTION 1.5.1. Conjonction Étant données deux propositions P et Q, on appelle conjonction de ces deux proposition, la proposition notée P et Q ou P^Q qui est vraie, si P et Q sont vraies simultanémente et fausse dans les autrescas, on a donc:

2 Ces notions seront reprécisées ultérieurement, mais nous espérons qu’ elles ne sont pas entiérement étrangères au lecteur.

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P V V F F

Q V F V F

P et Q V F F F

Deux propositions sont incompatibles, si leur conjonction est fausse, autrement dit, si une au moins de ces deux propositions est fausse. Par exemple, pour toute proposition P, la proposition P et (non P)est fausse. P et non P sont donc incompatibles. Il s’ agit simplement du principe de non contradiction. On ne peut établir quelque chose et son contraire. 1.5.2. Disjonction Étant données deux propositions, on appelle disjonction de ces deux propositions, la proposition notée P ou Q, ou P_Q qui est fausse si P et Q sont fausses simultanément, et vraie dans les autres cas; on a donc:

P V V F FQ V F V F

P ou Q V V V F

Il faut remarquer qu’ ne s’ il agit pas d’ ou exclusif, tel celui rencontré sur un certains menus de restaurant: fromage ou dessert . Il faut alors comprendre qu’ ne peut avoir l’ et l’ et l’ on un un autre, ce qui n’ pas le cas pour le ou est que l’ vient de dé…nir. on

1.6. IMPLICATION. ÉQUIVALENCE 1.6.1. Implication Étant données deux proposition P et Q, la...