Curvas Envolventes ED

Semana 5 - Clase 14

Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

Ecuaciones no resueltas respecto a la derivada
1.

Introducci´
on

Podemos preguntarnos sobre los casos donde no es posible despejar y
ordinaria de primer orden: F[x, y(x), y (x)] = 0.
Varias situaciones pueden aparecer:

F[y (x)] =








F[x, y (x)] =

F[x, y(x), y (x)] = 0 ⇒


F[y(x), y (x)] =






F[x, y(x), y (x)] =

1.1.

de la ecuaci´on diferencial

0
0
0
0

Caso: F[y (x)] = 0

Como F[y (x)] = 0 no contiene ni a x ni a y(x), entonces s´ı existe al menos una ra´ız κi de la
ecuaci´on F[y (x)] = 0 entonces
y = κi

⇒

⇒

y(x) = κi x + C

Por lo tanto
F

κi =

y(x) − C
.
x

y(x) − C
=0
x

es la integral de la ecuaci´
on diferencial.
Ejemplo

La soluci´
on de la ecuaci´
on
(y )7 − (y )5 + y +3 = 0 ,

es
y(x) − C
x

1.2.

7

−

y(x) − C
x

5

+

y(x) − C
+3=0
x

Caso: F[x, y (x)] = 0

Si se puede despejar x, entones podemos hacer los siguientes cambios de variable


dx = f (t) dt
g(t)f (t) dt + C
 x = f (t)
 y(x) =
⇒
⇒ dy = g(t)f (t) dt ⇒


y = g(t)
dy = g(t) dx
x = f (t)

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez

1

Universidad de Los Andes, M´erida

Semana 5 - Clase 14

EjemploTema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

La ecuaci´
on
(y )3 − y = 1 + x .

Podemos hacer los siguientes cambios de variable

dx = (3t2 − 1) dt
 x = t3 − t − 1
⇒

y = t
dy = t dx

⇒

dy = t(3t2 − 1) dt

integrando:



⇒
x = t3 − t − 1



1.3.

t(3t2 − 1) dt

dy =


 y(x) =

t2
2
4 (3t

− 2) + C

x = t3 − t − 1



Caso: F[y(x), y (x)] = 0

1. Se puede despejar y(x), esdecir: y = f (y ). Entonces hacemos los siguientes cambios de
variables:

dy = z dx
 y = z
df dz
df dz
⇒
⇒ z(x) =
⇒ dx =

dz dx
dz z
y = f (z)
dy = f (z) z dx
Por lo tanto, la soluci´
on param´etrica ser´a

 x =

Ejemplo

df dz
dz z

+C

y = f (z)

La ecuaci´
on
y = a(y )2 + b(y )3 ,

a y b = constantes

Tenemos entonces:

 y


= z
⇒

y = az 2 + bz 3

la soluci´
on param´etrica es :

(2a +3bz) dz + C
 x =


dx = (2az + 3bz 2 )

⇒

y = az 2 + bz 3

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez


 x = 2az + 32 bz 2 + C


2

dz
z

.

y = az 2 + bz 3

Universidad de Los Andes, M´erida

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

En el caso de que queramos obtener y(x) podemos intentar despejar z de la primera ecuaci´
on,
en este caso esto es posible
z(x) =−

1
2a ±
3b

4 a2 + 6 b(x − C) ,

y sustituir en la segunda:
y(x) =

1
2a ±
27b2

4 a2 + 6 b(x − C)

2

4 a2 + 6 b(x − C) .

a∓

2. No se puede despejar y ni y de F[y(x), y (x)] = 0, pero puede existir un par´ametro tal que

dy = f (t) dt
 y = f (t)
f (t)
⇒ f (t) dt = g(t) dx ⇒
⇒
dt = dx

g(t)
dy = g(t) dx
y = g(t)
La soluci´
on param´etrica es entonces la siguiente:

f (t)


g(t) dt = x + C

Ejemplo

.

y = f (t)

La ecuaci´
on
y 2/3 + (y )2/3 = 1 ,

Tenemos entonces:

 y = cos3 (t)


y

⇒

−

= sen3 (t)

3 cos2 (t)sen(t)
dt = dx
sen3 (t)

Por lo tanto

 −3

cot2 (t)dt = x + C
⇒
y =



1.4.

cos3 (t)


 x = 3 [cot(t) + t] + C


y = cos3 (t)

Caso: F[x, y(x), y (x)] = 0

1. Si se puede despejar la funci´
on y, entonces y = G(x, y ). En este caso consideramos la siguientesustituci´
on: y = z(x)
y = G(x, y ) = G(x, z)

⇒

dy = ∂x G dx + ∂z G dz = z dx ,

por lo tanto:
z = ∂x G + ∂z G

H´ector Hern´
andez / Luis N´
un
˜ez

dz
dz

⇒


 φ(x, z, C) = 0


3

y = G(x, z)
Universidad de Los Andes, M´erida

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

2. Si se puede despejar a la variable x, entonces x = H(y, y ). Como en el caso anteriortenemos
la siguiente sustituci´
on: y = z(x)
x = H(y, y ) = H(y, z)

⇒

dx = ∂y H dy + ∂z H dz .

Si multiplicamos por z, se tiene
zdx = z [∂y H dy + ∂z H dz]
por lo tanto:
dy = z [∂y H dy + ∂z H dz]


 φ(y, z, C) = 0

⇒

x = H(x, z)



Aqu´ı podemos considerar dos tipos de ecuaciones bien conocidas:
y = xf (y ) + g(y )

→

Ecuac. de Lagrange

y un caso particular de la ecuaci´
on de...