Cópulas

ARRIOLA PEÑA TANIA ANAID

“AGREGACIÓN DE RIESGOS DEPENDIENTES POR MEDIO DE CÓPULAS”

INTRODUCCIÓN Durante largo tiempo los estadísticos han estado interesados en la relación entre una función de distribución multivariada y sus bajos márgenes de dimensiones. M. Fréchet and G. Dall’Aglio hicieron algunos trabajos interesantes sobre este tema en los años cincuenta, estudiando las funciones dedistribución bivariadas y trivariadas con márgenes univariados. La respuesta a este problema para el caso de los márgenes univariados fue dada por A. Sklar en 1959 creando una nueva clase de funciones las cuales las llamo cópulas. Estas nuevas funciones son restricciones a [0,1]2 de funciones de distribución bivariada cuyos márgenes son uniformes en [0,1]. En resumen, Sklar demostró que si H es unafunción de distribución bivariada con márgenes F(x) y G(y), entonces existe una cópula C tal que H(x,y)=C(F(x),G(y)). Entre 1959 y 1976 la mayor parte de los resultados sobre cópulas se obtuvieron en el curso del desarrollo de los espacios métricos probabilísticos, principalmente en el estudio de ordenes binarios en el espacio de la distribución de probabilidad. En 1942, Karl Menger propuso unageneralización de la teoría probabilística de espacios métricos, sustituyendo el número d(p,q) por una función de distribución Fpq , cuyo valor Fpq(x) para todo real x es la probabilidad de que la distancia entre p y q sea menor que x. La primera dificultad en la construcción de espacios métricos probabilísticos viene cuando uno trata de encontrar una probabilidad análoga a la desigualdadtriangular. Menger propuso donde T es una

norma triangular o t-norma. Algunos t-normas son cópulas, e inversamente, algunas cópulas son t-normas. Posteriormente, se descubrió que cópulas podría ser útil para definir medidas no paramétricas de dependencia entre variables aleatorias. Desde entonces el concepto de cópula ha sido redescubierto en varias ocasiones, jugando un papel importante en Probabilidady Estadística, en particular en los problemas relacionados con dependencia, dando marginales y funciones de variables aleatorias que son invariantes bajo transformaciones monótonas. CÓPULAS En estadística, una cópula se utiliza como una forma general de la formulación de una distribución multivariada de tal manera que varios tipos generales de la dependencia se puede representar. El enfoque de laformulación de una distribución multivariada mediante una cópula se basa en la idea de que un transformación simple se puede hacer de cada variable marginal de tal manera que cada variable marginal ha transformado una distribución uniforme . Una vez hecho esto, la estructura de dependencia se puede expresar como una distribución multivariada obtenido en los uniformes, y una cópula es,precisamente, una distribución multivariada sobre variables aleatorias marginalmente uniformes. Cuando se aplica en un contexto práctico, las transformaciones anteriormente podría montarse como un paso inicial para cada distribución marginal, o los parámetros de las transformaciones que puede ser instalado en forma conjunta con los de la cópula. Hay muchas familias de cópulas que difieren en el detalle de ladependencia que representan. Una familia suele tener varios parámetros que se refieren a la fuerza y la forma de la dependencia. Un uso típico de cópulas es elegir una de estas familias y lo utilizan para definir la distribución de variables múltiples para ser utilizado, generalmente en el ajuste de una distribución a una

muestra de datos. Sin embargo, es posible derivar la cópulacorrespondiente a cualquier distribución multivariada dada. Consideremos dos variables aleatorias X e Y, con funciones de distribución acumuladas FX y FY . La probabilidad de transformación integral se puede aplicar por separado a las dos variables al azar para definir el X’=F X(x) y Y’=FY(y). De esto se deduce que X’ e Y’ distribuciones uniformes pero son, en general, dependientes si X e Y eran ya...