Darwin

1 Algebra de Tensores
En esta seccion introduciremos el concepto de tensor y estudiaremos algunas de sus propiedades. Los tensores son funciones vectoriales lineales que actuan sobre vectores u otros tensores. Nuestra presentacion estara restringida al estudio de tensores de rango 2 en tres dimensiones. En particular, estaremos interesados en las propiedades del tensor de inercia, que resultaser central en el estudio de la dinamica de un solido r gido.

1.1 D adas.

~ ~ ~ ~~ Sean A, B y C , tres vectores. De nimos la d ada AB como un operador ~ matematico tal que, al actuar sobre un vector arbitrario C lo transforma en otro vector, de acuerdo a la siguiente regla: ~~ ~ ~ ~ ~ (AB ) C A(B C ) (1) La linealidad del producto escalar que aparece al lado derecho en (1) asegura que elproducto d ada es una funcion vectorial lineal. En efecto, el producto d ada satisface las siguientes relaciones: ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ (AB ) ( C ) = A(B ( C )) = (AB) C (2) ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (AB) (C + D) = A(B C + B D) (3) ~~ ~ ~~ ~ = (AB) C + (AB) D (4) En general, cualquier d ada recibe el nombre de tensor de rango 2. 1 Notacion. De aqu en adelante los tensores los escribiremos con letras mayusculas ennegrita. Por ejemplo: ~~ T (AB) (5)

1.1.1 Suma de Tensores. De nicion: El tensor suma de dos tensores T y S queda de nido de acuerdo
a la siguiente prescripcion: ~ ~ ~ (T + S) C = T C + S C
1

(6)

Toda funcion vectorial lineal es un tensor. La d adas son tensores de rango 2, las ~~ ~ tr adas AB C son tensores de rango 3, etc. Tal como se menciona al comienzo de la seccion, en estos apuntessolo trabajaremos con tensores de rango 2.

1

~ donde, C es un vector arbitrario. La suma de un numero cualquiera de d adas (tensores de rango 2) recibe el nombre de diadica. Es directo demostrar que una diadica es tambien una funcion vectorial lineal. Sea T una diadica, entonces se cumple que: ~ ~ ~ ~ T (C + D ) = T C + T D (7) ~ ~ T ( C) = T C (8)
La de nicion de producto d ada, juntocon las relaciones (6), (7) y (8) aseguran que los tensores satisfacen las reglas del algebra normal, con excepcion de la conmutatividad del producto. Note que, en forma analoga a (1), podemos de nir el producto d ada aplicado sobre un vector colocado a su izquierda: ~ ~ ~ ~ ~~ C (AB) = (C A) B (9) Comparando (9) con (1) se concluye que, en general el producto d ada no es conmutativo; i.e.: ~ ~~ ~~~ C (AB ) 6= (AB) C (10) ~ Lo mismo es valido para la suma de d adas o tensores. Sea T un tensor y C un vector cualquiera, entonces en general: ~6 ~ T C=C T (11) Una conclusion importante que surge de lo discutido en esta seccion es que: un tensor de ne una funcion vectorial lineal y viceversa, que toda funcion vectorial lineal puede ser representada por un tensor.

EJEMPLOS DE TENSORES. a) ElTensor Unidad: 1 xx + yy + zz Note que: ^ ^ ^ ^ ^^ ~ 1 C = xx C + yy C + zz C ^ ^ ~ ^^ ~ ^^ ~

~ ~ x ^ ^ = (^ Cx + y Cy + z Cz ) = C = C 1

(12) (13) (14) (15) (16)

b) El Tensor Constante. K k 1 donde, k es un escalar ~ ~ K C = kC
2

c) El Tensor de Inercia. I

N X k=1

mk (~k 2 1 ~k~k ) r rr

(17)

El tensor de inercia es una cantidad central en el estudio de la dinamica de unsolido r gido. Sea S un sistema de coordenadas cartesiano con origen en O, cuyos ejes apuntan en la direccion de nida por el triedro de vectores unitarios fe1; e2; e3g. ^ ^ ^ ~ ~ ~ Los vectores A , B y C expresados en termino de sus componentes cartesianas en ese sistema, se escriben como 3 3 3 ~ X ^ ~ X ^ ~ X ^ A = Ai ei B = Bi ei C = Ci ei (18)

1.1.2 Componentes Cartesianas de un Tensor deRango 2.

~~ Entonces, la d ada T AB adopta la forma 3 3 ~ ~ X X AiBj ei ej T = AB = ^ ^
i=1 j =1

i=1

i=1

i=1

(19)

~ Sea C es un vector cualquiera; entonces se tiene que: ! 3 3 3 X XX ~ ~ ~ ~ Ai Bj ei ej ^ ^ Ck ek ^ T C = A (B C ) = i=1 j =1 k=1 03 1 3 X X ~ ~ ~ = Ai ei @ Cj Bj A = A (C B) ^
i=1 j =1

(20) (21)

Los numeros Tij Ai Bj en (19) son las componentes cartesianas...