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Tema 3: Sucesiones y series de funciones
Ingenier´ Inform´tica ıa a Agust´ Valverde ın 16 de marzo de 2007

Sucesiones de funciones. Convergencia puntual

J Definici´n: {fn} sucesi´n de funciones definidas en D; definimos su l´ o o ımite puntual como: f (x) = l´ fn(x) ım
n→∞

J Caracterizaci´n: {fn} converge puntualmente a f si y solo si: o para cada x y para cada ε existe un N tal que|fn(x) − f (x)| < ε, para todo n ≥ N

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Convergencia Uniforme
f (x) + ǫ f (x) f (x) − ǫ fn (x)

f3 (x) f2 (x) f1 (x) a x b

J Definici´n: Decimos que {fn} converge uniformemente a su l´ o ımite puntual f si: para cada ǫ > 0, existe un N tal que: |fn(x) − f (x)| < ǫ, para todo n ≥ N, y para todo x ∈ D

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f fn (x) = 
   xn 

si x ∈ [0, 1) si x ≥ 1 f1

1

f (x) = 


  0

si x ∈ [0, 1) si x ≥ 1

f2

f3 fn

1

n→∞

l´ fn (x) = f (x) ım f Convergencia uniforme en [0, 1/2] No convergencia uniforme en [3/4, 3/2]

Convergencia puntual en [0, ∞)

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Propiedades de la convergencia uniforme
¢ Si {fn} converge uniformemente a f en D, ‘a’ un punto de acumulaci´n de o D y para cada n el l´ fn(x) existe, entonces: ım
x→a

x→a

l´ f (x) = l´ ım ıml´ fn(x) ım
x→a

¢ Si {fn} es una sucesi´n de funciones derivables y con derivadas continuas, f o ′ es su l´ ımite puntual y {fn} converge uniformemente, entonces d dx l´ ım fn(x) = l´ ım d fn(x) dx

n→+∞

n→+∞

¢ Si {fn} converge uniformemente a f en [a, b], entonces:
b b

f (x) dx = l´ ım
a a

fn(x) dx
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Estudio del tipo de convergencia

J En primer lugar, calculamos el l´ımite puntual. J A continuaci´n, decidimos si la convergencia es uniforme: o Transmisi´n de propiedades. o Criterios de convergencia. Debemos tener en cuenta que la convergencia uniforme puede depender del dominio de la funci´n o

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Criterios para la convergencia uniforme

µ Criterio de Acotaci´n: Sea {fn} una sucesi´n de funciones y f su l´ o o ımite puntual en D. Si existe una sucesi´n den´meros reales {an} convergente a 0 o u y tal que para todo x ∈ D |fn(x) − f (x)| < an entonces, {fn} converge uniformemente a f en D. µ Caracterizaci´n por los supremos: Sea fn una sucesi´n de funciones y f su o o l´ ımite puntual en D. Sea σn la sucesi´n num´rica definida por o e σn = sup{|fn(x) − f (x)|; x ∈ D} Entonces: fn converge uniformemente a f si y solo si l´ σn = 0 ım

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Series defunciones
´ Definici´n: {fn} sucesi´n de funciones; la serie de funciones asociada a o o {fn} es la sucesi´n de sumas parciales, {sn}, definida como sigue y que se o
∞

denota

fn.
n=1

s1(x) = f1(x) s2(x) = f1(x) + f2(x) ... = ... sn(x) = f1(x) + · · · + fn(x)

o o ´ Si la sucesi´n de sumas parciales converge puntualmente a la funci´n s en D, se dice que s es la suma puntual en D de laserie. ´ Si la convergencia es uniforme en D, se dice que s es la suma uniforme en D de la serie.
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Propiedades de la convergencia uniforme
J Si fn converge uniformemente, ‘a’ es un punto de acumulaci´n de D y o para cada n limite l´ fn(x) existe, entonces: ım
x→a

x→a

l´ ım

fn(x) =

x→a

l´ fn(x) ım
′ fn(x) converge

J Si las funciones fn son derivables con derivada continua yuniformemente, entonces d dx fn(x) = d fn(x) dx

J Si las funciones fn son continuas en [a, b] ⊂ D y uniformemente, entonces:
b b

fn converge

fn(x) dx =
a a

fn(x) dx
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Estudio del tipo de convergencia

J El primer paso es determinar el campo de convergencia de la serie, para ello son suficientes los criterios de convergencia de series num´ricas. e o J A continuaci´n, decidimossi la convergencia es uniforme: Criterios de convergencia para series funcionales. Transmisi´n de propiedades, si podemos calcular la suma. o Criterios de convergencia para sucesiones sobre la sucesi´n de sumas o parciales. La convergencia uniforme puede depender del dominio de la funci´n o

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Criterios para la convergencia uniforme

J Criterio de Comparaci´n: Sean fn y gn dos...