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Integral de Lebesgue


La integral de una función no negativa puede ser interpretada como el area bajo la curva.
En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia defunciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. Detodas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de laMatemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875-1941).
Introducción
La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero... ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas ocon comportamiento errático? En general, cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de "área bajo la curva" tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.
Como parte del gran avance de las matemáticas en el siglo XIX, se hicieron varios intentos de poner sobre bases sólidas el cálculo integral. La Integral de Riemann, propuesta porBernhard Riemann (1826-1866), sentó la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral. La definición de Riemann empieza con la construcción de una sucesión de integrales fácilmente calculables (las sumas superior e inferior) las cuales convergen a la integral de una función dada. Esta definición es exitosa en el sentido que provee las repuestas adecuadas y esperadas para muchosproblemas ya resueltos, así como importantes y útiles resultados para muchos otros problemas.
Sin embargo, la integración de Riemann no interactúa bien al tomar límites de sucesiones de funciones, dificultando su análisis. Esto es de vital importancia, por ejemplo, en el estudio de la Serie de Fourier, la Transformada de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue está mejor dotada para describircómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo de la integral.
La definición de Lebesgue también hace posible calcular integrales para una más amplia clase de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, la cual es 0 cuando su argumento es irracional y 1 en otro caso (racional), tiene una integral de Lebesgue, pero no una de Riemann.
Construcción de la integral de Lebesgue
La discusiónque sigue expone la definición más común de esta integral, la cual la teoría de integración tiene dos partes:
1. Una teoría de conjuntos medibles y medidas en estos conjuntos.
2. Una teoría de funciones medibles e integrales en estas funciones.
Teoría de la medida
Inicialmente la teoría de la medida fue creada para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de lossubconjuntos de puntos de la recta real, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclideos. En especial, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a cuales subconjuntos de R se les puede asociar una longitud?. Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, realmente es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se...