ddddddddddddddd

CAP´
ITULO VI.
APLICACIONES DE LA
DERIVADA

SECCIONES
A. Crecimiento y decrecimiento. M´ximos y m´
a
ınimos locales.
B. Concavidad. Puntos de inflexi´n.
o
C. Representaci´n gr´fica de funciones.
o
a
D. Problemas de m´ximos y m´
a
ınimos.
E. Teoremas del valor medio. Regla de L’H¨pital.
o
F. Ejercicios propuestos.

205

´
A. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAXIMOS Y M´
INIMOSLOCALES.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´n y = f (x) se
o
obtienen a partir de la primera derivada de la funci´n por la siguiente reo
gla:
(a) f crece en un intervalo (a, b) si f (x) > 0 para todo x en (a, b).
(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f (x) < 0 para todo x en (a, b).
Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada
sonlos m´ximos o m´
a
ınimos, seg´n la derivada cambie de positiva a negativa
u
o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen:
(a) Un punto x0 del dominio de la funci´n corresponde a un m´ximo local o
o
a
relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f crece y otro intervalo
(x0 , x0 + δ) en donde f decrece.
(b) Un punto x0 del dominio de la funci´n corresponde a un m´
oınimo local o
relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f decrece y otro intervalo
(x0 , x0 + δ) en donde f crece.
Los m´ximos y m´
a
ınimos locales se encuentran entre los llamados puntos
singulares o cr´
ıticos, es decir, puntos del dominio de la funci´n en donde la
o
derivada se anula o no existe.

PROBLEMA 6.1.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´n
o
√f (x) = x( x + 1).
Soluci´n
o

Calculamos la derivada de la funci´n:
o
√
√
x
2x + 2 x + x
3x + 2 x
√
√
f (x) = x + 1 + √ =
=
.
2 x
2 x
2 x
√
√
La derivada se anula cuando 3x + 2 x = 0 y no existe cuando 2 x = 0.
Despejamos x en ambas ecuaciones:
√

√
√
4
o
3x + 2 x = 0 =⇒ 3x = −2 x =⇒ 9x2 = 4x =⇒ x = 0 ´ x = .
9
206

Como el valor x = 4/9 no verifica la primeraecuaci´n, el unico valor que
o
´
anula f (x) es x = 0. Por otra parte,
√
2 x = 0 ⇐⇒ x = 0.
El unico punto cr´
´
ıtico es x = 0. Como el dominio de la funci´n es el intervalo
o
[0, ∞) y f (x) ≥ 0 en todo el dominio, la funci´n es siempre creciente. Por
o
tanto, el punto (0, 0) es el m´
ınimo de la funci´n.
o

PROBLEMA 6.2.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´n
of (x) =

x3 + 4
.
x2

Soluci´n
o

De nuevo calculamos la derivada:
f (x) =

3x2 · x2 − (x3 + 4) · 2x
x4 − 8x
x3 − 8
=
=
.
4
4
x
x
x3

La derivada se anula cuando x3 − 8 = 0 y no existe cuando x3 = 0. Despejaremos x en ambas ecuaciones:
x3 − 8 = 0 ⇐⇒ x3 = 8 ⇐⇒ x = 2.
x3 = 0 ⇐⇒ x = 0.
Como el dominio de la funci´n es R \ {0}, el unico punto cr´
o
´
ıtico es x = 2.Estudiamos el crecimiento en los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y (2, ∞). Para
ello, sustituimos la derivada de la funci´n en cualquier punto interior a los
o
intervalos. El signo de la derivada indicar´ si la funci´n original crece o
a
o
decrece. As´
ı:
f (−1) = −9/ − 1 > 0 =⇒ la funci´n crece en (−∞, 0).
o
f (1) = −7/1 < 0 =⇒ la funci´n decrece en (0, 2).
o
f (3) = 19/27 > 0 =⇒ la funci´ncrece en (2, ∞).
o
Un m´todo m´s c´modo por su claridad visual consiste en representar el
e
a o
dominio de la funci´n sobre la recta real. A continuaci´n, colocar en la
o
o
misma recta los puntos cr´
ıticos. De esta manera quedan ya delimitados los
intervalos que se van a estudiar. Despu´s de sustituir en la derivada de la
e
207

funci´n alg´n punto intermedio de cada intervalo,colocar el signo + ´ −
o
u
o
seg´n si dicha derivada es positiva o negativa. As´ quedan completamente
u
ı
determinados los intervalos y el comportamiento de la funci´n en cada uno
o
de ellos. En este ejemplo hubiera quedado as´
ı:
(−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
f (x)

++

––

++

PROBLEMA 6.3.

Encontrar los m´ximos y m´
a
ınimos locales de la funci´n
o
f (x) = x5 − 5x + 6....