Deconvolucion

Deconvoluci´n o
M. I. Caicedo Departamento de F´ ısica Universidad Sim´n Bol´ 1 o ıvar ´ Indice
1. Introducci´n o 2. Deconvoluci´n: un problema de m´ o ınimos cuadrados 3. El sistema de ecuaciones 4. Discusi´n geom´trica o e 5. ¿El problema es solo computacional? 2 4 6 8 10

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versi´n 1.0, 14 de Mayo de 2006 o

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1.

Introducci´n o
Comencemos estas notas observando lo que ocurrecuando calculamos la correlaci´n entre o

dos series temporales (ST) causales del mismo n´mero (k + 1) de t´rminos. Utilizando la transu e formada z podemos observar sin problema que la transformada z de la correlaci´n de ambas o se˜ales es n Z[f g] = donde (f fk f−k+1 + k−1 + ...f1 /z zk z g0 + ... + gk z k = fk g0 + ... + (f zk g)(0) + ... + f0 gk z k , (1)

g)(0) es el valor de lacroscorrelaci´n de f con g a retardo nulo (si f = g esto o

corresponde con la energ´ de f ). Esto demuestra que -en el caso que estamos tratando- la ıa correlaci´n de las dos se˜ales es una ST acausal sim´trica con respecto al tiempo cero y que tiene: o n e 2k + 1 t´rminos, estas caracter´ e ısticas aparecen por supuesto en el c´lculo de la autocorrelaci´n a o de una se˜al. n Pasemos ahora a recordar unpoco la convoluci´n entre dos ST causales descrita en la o formulaci´n matricial, consideremos dos se˜ales f y g de 3 y 4 muestras respectivamente. Es o n claro que esperamos que f ∗ g tenga 6 muestras y por lo tanto, la matriz que representa la convoluci´n con f es. o


f0

0 f0 f1 f2 0 0

0 0 f0 f1 f2 0

0 0 
 = ( f0  f0    f1    

  f1   f  2    0    0 0 

f1

f2

f3 ) .

(2)

0

f2

En esta ultima notaci´n el “vector” (f0 , f1 , f2 , f3 ) es por supuesto una matriz cuyas columnas ´ o contienen las muestras de f con retardo de 0, 1, 2 y 3 muestras respectivamente.

2

La transpuesta de esta matriz es evidentemente
 T f0   T  f1 T Mf =    fT  2 
T f3

        

(3)

Por razones que ser´n aclaradasm´s adelante, estamos interesados en el c´lculo de MT Mf , a a a f antes de efectuarlo notemos que, en vista de que A BT = BT BT la matriz que queremos encontrar es sim´trica. El c´lculo resulta en e a
 T f0   T  f1  T Mf Mf =   fT  2 
T f3



     ( f0   

f1

f2

 T f0 f0   T  f1 f0  f3 ) =   fT f  2 0 
T f3 f0

T f0 f1 T f1 f1 T f2 f1 T f3 f1

T f0 f2 Tf1 f2 T f2 f2 T f3 f2

     . T f2 f3   
T f1 f3 T f3 f3

T f0 f3



(4)

que debido a la conmutatividad del producto escalar es ciertamente una matriz sime´trica. M´s e a
T a´n, si observamos que el producto escalar f0 fi muestra de la autocorrelaci´n de f con retardo u o

i que denotamos por ci podemos poner



   c1  T Mf Mf =  c  2 

c0

c1 c0 c1 c2c2 c1 c0 c1

c3

   . 

c2   c1   c0

(5)

c3

Es decir, que los elementos de MT Mf son las muestras de la parte causal de f f ¿qu´ pasa si la serie de tiempo es compleja?). e Las propiedades de esta matriz son notables no solo los elementos MT Mf f
ij

f (P:

y MT Mf f

ji

son iguales sino que los elementos de cada subdiagonal son id´nticos lo que trae como conseecuencia que si la matriz es de orden N × N solo tiene N elementos distintos, lo que a su vez implica que para los fines del c´lculo num´rico solo se requiere almacenar N n´meros. Una a e u matriz con estas caracter´ ısticas se denomina matriz de T¨eplitz o 3

2.

Deconvoluci´n: un problema de m´ o ınimos cuadrados
Supongamos que estamos frente a dos series de tiempo, s y p causales de ks y kpmuestras

y que queremos buscar una tercera ST (filtro convolutivo) f de (kp + 1) − (ks + 1) = kp − ks muestras de tal suerte que ocurra s ∗ f = p, (6)

es claro que si dispusieramos de una operaci´n hipot´tica (llam´mosla /∗ ) que correspondiera o e e al inverso de la convoluci´n la soluci´n al problema que nos ocupa ser´ o o ıa f = p/∗ s . (7)

Desafortunadamente esta operaci´n la...