Definici N De Transformaci N Lineal




ALGEBRA LINEAL

TRABAJO:
TRANSFORMACIONES LINEALES

PROFESORA:
ELDA ROSARIO RUIZ

HORA:
07:00-08:00 hrs.

ALUMNO:
EMMANUEL MARTINEZ HERNANDEZ

CARRERA:
ING. ELECTRICA

INDICE
5.1 Transformaciones Lineales 3
5.2 Núcleo o imagen de una transformación lineal 5
5.3 La Matriz de una Transformación Lineal 6
5.4 Aplicación de las Transformaciones Lineales 8
-Reflexión 8
-Dilatación 8-Contracción 8
-Rotación 8
Ejercicios Resueltos 11




5.1 Transformación Lineal
Como se ha visto, una transformación tiene tres elementos esenciales: el dominio, el codominio y la regla de correspondencia; además, tiene dos características importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido
(Perteneciente al codominio) y el núcleo (parte del dominio).
En Álgebra Lineal se hahablado de operaciones de suma de vectores y de multiplicación por un escalar; para que una transformación sea caso de estudio en el Álgebra Lineal, es necesario que mantenga dichas operaciones válidas a lo largo de la transformación. Es así como surge el concepto de transformación lineal.
Comenzamos definiendo una transformación lineal. Ejemplos típicos son la derivada y la integral, al igual quelas proyecciones. Definimos el kernel y rango de una transformación lineal T : V ® W y los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T) £ V y R(T) £ W. Definimos nulidad(T) = dim(N(T)) y rango(T) = dim(R(T)).
TEOREMA 2.1 Si T : V ® W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en estecaso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).
Demostración
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y demultiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones son equivalentes:
T es inyectiva
N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0)
Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente
Tambiénse deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V ® W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.
Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. Dehecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.






















5.2 Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal




5.3 La Matriz de una transformación lineal
Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entoncestodo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.
Sean T:V→W una transformación lineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm} base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T(vi) para cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de la base C:
T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm,..., T(vn)=a1nw1+ ...+amn wm.
La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente:

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación lineal de elementos de C, la matriz es única.
Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es única la...