Deformacion

CAPÍTULO 2

DEFORMACIÓN

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.

Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.

Sólido sin deformar

Sólido deformado

DEFORMACION LONGITUDINAL

∆l εL = l0

∆x

x = posición geométrica u =desplazamiento experimentado Configuración sin deformar

Configuración deformada
P ∗Q ∗ − PQ ε x (P ) = lim ∆x→0 PQ
P ∗ Q ∗ = OQ ∗ − OP ∗ = [x + ∆x + u (Q )] − [x + u (P )]
P ∗ Q ∗ − PQ = u (Q ) − u (P ) = ∆u

∆u ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟ ε x (P ) = lim ∆x→0 ∆x ⎝ dx ⎠ P

n B

∆s
A

B*

∆s*
A*

Sólido no deformado

Sólido deformado

∆s * −∆s ε = lim B → A along n ∆s
a lo largo de n∆s* ≈ (1 + ε )∆s ∆s * ε≈ −1 ∆s

DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL, DE CORTE O DE CIZALLADURA

z

δ
γyz h x

τyz

tgγ yz ≈ γ yz =
y

δ
h

Configuración sin deformar

γ P = lim ángulo QPR − ángulo Q ∗ P ∗ R ∗
Q→P R→P

[

]

γP = lim π

Configuración deformada

Q→P R→P

[ 2 − ángulo Q P R ]
∗ ∗ ∗

Las tensiones tangenciales actuando en un punto elástico son la causade aparición de las deformaciones angulares. Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientos o acortamientos del punto elástico sino que, simplemente, distorsionan su geometría. y γ y
τyx
2

τyx τxy
π
−γ 2 +γ

π
2

τxy

γ
2

x

x

Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemos determinar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por suslados

z
εzdz

y x
Punto elástico antes de deformarse:

Punto elástico deformado

γ yz / 2

εydy

(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz
dz dx dy

π
2

− γ xy

π
2

− γ yz

π
2

− γ zx

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w) DENTRO DE UN SÓLIDO
P Q P* Q* Vector desplazamiento en P = PP* = δP Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ
δQ z Q dr k 0 i x j y P δP

Q* d r* P*

r r r rδ P = u i + v j + wk
u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) w=w(x,y,z) Funciones continuas de x,y,z

δQ

r

r r r = u ' i + v' j + w' k

Relación entre (u’,y’,z’) y (u,v,w):
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ∂v ∂v v' = v + dx + dy + dz ⎬ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂w ∂w ⎪ ∂w dx + dy + dz w' = w + ∂y ∂z ⎭ ∂x ∂u ∂u ∂u u' = u + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

r r r δ Q = δ P + [M ] d r
⎡ ∂u ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ∂v [M ] = ⎢ ∂x ⎢ ∂w ⎢ ⎢ ∂x ⎣

∂u ∂u ⎤ ∂y ∂z ⎥ ⎥∂v ∂v ⎥ ∂y ∂z ⎥ ∂w ∂w ⎥ ⎥ ∂y ∂z ⎥ ⎦

Descomposición de la matriz [M] r r r δ Q = δ P + [M ] d r
⎡ ∂u ⎢ ∂x ⎢ [M ] = ⎢ ∂v ⎢ ∂x ⎢ ∂w ⎢ ⎢ ∂x ⎣

∂ u ∂u ⎤ ∂y ∂z ⎥ ⎥ ∂v ∂ v ⎥ ∂y ∂z ⎥ ∂w ∂ w ⎥ ⎥ ∂y ∂z ⎥ ⎦

=

⎡ 1 ⎛ ∂ u ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂ u ∂ w ⎞ ⎤ ⎡ ∂u 1 ⎛ ∂ u ∂ v ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂ w ⎞ ⎤ ⎜ ⎜ + ⎟ − ⎟ 0 ⎜ − ⎟⎥ ⎢ ⎟⎥ ⎜ + ⎢ ⎜ ∂ y ∂x ⎟ 2 ∂z ∂x 2⎝ ∂x 2 ⎜ ∂y ∂ x ⎟ 2 ⎝ ∂ z ∂ x ⎠ ⎥ ⎠⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞⎥ 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂ v ∂ u ⎞ ∂v ⎜ + ⎟⎥ ⎜ − ⎟⎥ + ⎢ ⎜ + ⎟ 0 ⎢ ⎜ − ⎟ ⎟ 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ 2 ⎜ ∂z ∂ y ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎜ ∂ x ∂y ⎠ ∂y 2 ⎜ ∂ z ∂y ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎢ ⎝ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂w ∂ u ⎞ 1 ⎛ ∂w ∂ v ⎞ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂w ∂ u ⎞ 1 ⎛ ∂ w ∂ v ⎞ ∂w ⎜ ⎜ + ⎟ + ⎟ − ⎟ − ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎥ ⎢ 2 ∂x ∂z ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂z ⎝ ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎦ ⎣ 44444444 444444443 14∂x 44442 ⎝ 42444444443 ⎦ ⎣ 2 ⎝ 4 ∂ z ⎠ 4 ∂y ∂ z ⎠ 1 2 [W ]hemisimétrica [D ]simétrica

δQ Qdr P δP

Q* d r* P*

r r r δ Q = δ P + ([W ] + [D ]) d r
r r r r∗ dr = dr + δ Q − δ P r r r r d r ∗ = d r + [W ] d r + [D] d r

r∗ r r d r = ([I] + [W ]) d r + [D] d r

Descomposición de movimientos

a) Traslación de definida por

PQ → P Q 1
→ ∗ → ∗

→

→ ∗

b) Giro definido por la matriz hemisimétrica P Q 1 → P Q 2 c) Deformación definida por la matriz P Q 2 → P Q
→ ∗ → ∗ ∗Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) para todos los puntos del entorno del punto P, por lo que no producen variación relativa alguna (deformación) de las distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el paso c) es el que produce deformaciones en el entorno del punto P y el tensor correspondiente, que admite una representación a través de la matriz [D] respecto al...