Derivab Y Diferenc

Tema 2 Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones
de varias variables







2.1. Derivadas parciales. Vector gradiente.
2.2. Derivadas de orden superior. Matriz Hessiana.
2.3. Diferenciabilidad y diferencial de una función.
2.4. Polinomio de Taylor.
2.5. Funciones compuestas.
2.6. Funciones implícitas.

1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
DEFINICIÓN: Una función f : D  R  R(definida en
un conjunto D abierto) es derivable en un punto x 0  D
si existe y es real el límite

lim
x 0

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0  h)  f ( x0 )
df
 lim
 f '  x0  =
 x0 
x
h
dx
h 0

f x 

f  x0  x 
f  x0  x   f  x0 

f x0 

x0

x

x0  x

x
2

1

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA:
La derivada representa ritmos de cambio otasas de
variación.
f ’(x0) proporciona la variación de la función f(x) por unidad
de incremento de la variable independiente a partir del
punto x0 si bien matemáticamente sólo tiene sentido para
incrementos infinitesimales de la variable independiente.
3
Ejemplo: La derivada de la función f x   2x
en el punto 1 es f ' x  6 x 2

 
f ' 1  6

Así, en el punto la función crece
aproximadamente auna tasa de 6
unidades por unidad de variación en la
variable.

3

FUNCIONES DE UNA VARIABLE: la derivada
Ejemplo: coste total=f(cantidad producida)
En q0 los costes son ...................C(q0)
En q1 los costes son ...................... C(q1)

C=f(q)

La variación, medida en términos absolutos C(q1) -C(q0)
y en términos relativos
C(q ) -C(q )
1

0

q1  q0
cuando el incremento de q tiende acero

lim
q 0

C(q1 ) -C(q 0 )
dC

(q0 )
q
dq

La derivada de una función de coste indica el ritmo de cambio de su
coste cuando la producción varía de forma infinitesimal
Si

C '(q0 )  0

Si

C '(q0 )  0

la función es creciente en ese punto.
la función es decreciente en ese punto

4

2

FUNCIONES DE UNA VARIABLE: la derivada
Definición: Sea una función f : D  R  R derivable en D
abierto. Lafunción derivada de f es una función

f ': D  R  R
que asigna a cada elemento
de f en el punto x .

x  D el valor de la derivada

Proposición: (Relación entre continuidad y derivabilidad).
Sea f : D  R  R . Si f es derivable en
entonces es continua en x .

f derivable en x





xD,

f continua en x
5

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: derivadas parciales
 Para funciones de una variablereal, un
incremento en la variable nos desplaza en
una dirección única, la de la recta real.
Por ello, la derivada de una función de
variable real en un punto es única.

y  f ( x)

x
 Para funciones de varias variables, un
incremento a partir de un punto nos
puede desplazar en infinitas direcciones
distintas.
 El incremento es un vector que
determina la dirección del desplazamiento.
Por ello,podemos definir infinitas
derivadas de una función de variable
vectorial en un punto; son las derivadas x 2
direccionales y las derivadas parciales
(caso particular).

x1

6

3

FUNCION DE DOS VARIABLES y=f (x1, x2)
derivada parcial respecto a x1

f : D  R 2  R (D abierto)

y  f ( x )  f ( x1 , x2 )

Supongamos una variación en la variable x1
a partir de x10 mientras x2 permanece
constanteCociente de incrementos:

f ( x1  x1 , x 2 )  f ( x1 , x 2 )
0

0

0

0

x2
x0   x10 , x20 

x2 0

x

0
1

 x1 , x20 

x1

Si los incrementos son infinitesimales

lim

x10

f ( x10  x1 , x 02 )  f ( x10 , x 02 )

x10  x1

x1

x1  0

Este límite, si existe, es la derivada parcial de f respecto a x1 y
se denota por:

f
y
 x0    x0   f x1 '  x0   yx1 '  x0 
x1
x1

7FUNCION DE DOS VARIABLES y=f (x1, x2)
derivada parcial respecto a x2

f : D  R 2  R (D abierto)

y  f ( x )  f ( x1 , x2 )

Supongamos una variación en la variable x2
x20  x2
a partir de x20 mientras x1 permanece
constante
Cociente de incrementos:

f ( x10 , x 20  x2 )  f ( x10 , x 20 )

x0   x10 , x20 

x2 0

x2

Si los incrementos son infinitesimales

lim

x2  0

f ( x10 , x 20  x2...