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I. DERIVACIÓN DE FUNCIONES

III.1. INCREMENTOS

(1) Definición.- El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así pues, x = x1 - x0.
Si se da un incremento x a la variable x ( es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + x ), la función y = f(x) se verá incrementada en y = f ( x0 +x ) – f(x0 ) a partir del valor y = f(x0 ).

Ejemplo 13:
Si se tiene que y = f(x) = x2
Si x0 = 10, entonces fija a y = 100
Suponiendo x1 = 12, entonces fija a y = 144
Resulta que x = 2, determina y = 44
Suponiendo x1 = 9, entonces fija a y = 81
Resulta que x = -1, determina y = -19
El cociente = recibe el nombre de cociente medio de incrementos de lafunción en el intervalo comprendido entre x = x0 hasta x = x0 + x

III.2. DERIVADAS

(1) Notación usual en las derivadas.- La derivada de una función de una variable es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando este ( el incremento x ) tiende a cero. Cuando el límite existe, se dice que la función es derivable o tiene derivada.Matemáticamente:

=
la derivada será el límite del segundo miembro cuando x  0 y se representa que se lee:
“ la derivada de y [ o de f(x) ] con respecto a x “

=
si “u” es una función de “t”

=
las expresiones y deben considerarse como un todo y no como una fracción. Si y = f(x), la derivada se expresa de diferentes formas, algunas de ellas son:

= f(x) = y= f  (x) = y  = Dx y = Dx f(x)


(2) Regla general de derivación.- Para encontrar la derivada de una función conforme a la definición anterior, se recomiendan los pasos siguientes:

I. Se sustituye en la función x por x + x y se calcula y + y.
II. Se resta el valor inicial de la función del valor obtenido y + y para encontrar el incremento y.
III. Se divide el incremento de lafunción (y) sobre el incremento de la variable (x).
IV. Se calcula el límite de este cociente cuando el incremento de la variable (x) tiende a cero. El límite encontrado es la derivada buscada.

Ejemplo 14:

Encontrar la derivada de y = 3x2 + 5
I.- y + y = 3 ( x + x )2 + 5
y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5
II.- y + y = 3x2 + 6xx + 3 (x)2 + 5
 y =  3x 2 + 5 .y = 6xx + 3 (x)2
III.- = = 6x + 3x
IV.- = = (6x + 3 x ) = 6x

EJERCICIOS VI

Encuentra la derivada de cada función que se proporciona.

a) y = 2 – 3x
b) f(x) = mx + b
c) y = x4
d)  =
e) s = at2 + bt +c
f) y =

g) f(x) = cx3
h) y = 3x – x3
i) y = x2 + 2x
j) s = ( a + bt )2
k) y =

l) y = x2 + 2
m)
n)
o)



III.3. INTERPRETACIÓNGEOMETRICA DE LA DERIVADA

Geométricamente, la derivada de una función f(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto [ x0, f(x0) ]. En la figura siguiente:


considerando que: y = f(x)

I.- y + y = f ( x + x ) NQ

II.- y + y = f ( x + x ) NQ
 y =  f(x) MP = NR .
y = f( x +x) - f(x) RQ

III.- = = = tg  RPQ = tg  = pendiente de la secante PQ.
La razón del incremento y al incremento x es la pendiente de la secante determinada por P ( x, y ) y Q ( x + x, y + y ).
IV.- Si se considera x como fijo, entonces P es punto fijo en la gráfica. Si x varía tendiendo a cero, el punto Q se mueve en la curva y se acerca a P como límite. La recta PQ girasobre P y se sobrepone a PT.
 = inclinación de la secante PQ
t = inclinación de la tangente PT  = t
y  = tg  = tg t = pendiente de la tangente en P.
El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

Ejemplo 15: Hallar la pendiente “m” , el ángulo de inclinación “” y la ecuación de la recta tangente a...