Desarrollo de la transformada de la place

Desarrollo de la
Transformada de Laplace
|1. Introducción |
|2. Definición de la Transformada de Laplace |
|3. Restricciones para la existencia de la TL. Ejemplo |
|4. Conclusión |
|5. Referencias|
|6. Test |

1. Introducción

El objetivo de la asignatura es analizar circuitos, obteniendo expresiones para las variables de dicho circuito. Si la red está formada sólo por fuentes y resistores, obtenemos ecuaciones algebraicas. Sin embargo, alincorporar bobinas y condensadores, las ecuaciones resultantes son integro-diferenciales, que son más complicadas. En el tema anterior se vio que la solución de dichas ecuaciones requiere de diversas técnicas especializadas.

En este tema veremos otro enfoque para llegar a la solución, consistente en el empleo de variables tranformadas (sometidas a algún proceso matemático). En concreto,estudiaremos la tranformada de Laplace, que permite transformar las ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.

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2. Definición de la Transformada de Laplace

Nuestro propósito es "inventar" una relación matemática que tranforme una función f de una variable t, en una función de alguna otra variable. Emplearemos F para la función transformada y s para lanueva variable. Luego la tranformación se puede representar simbólicamente como:

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Lo que queremos es transformar ecuaciones diferenciales en algebraicas, luego el objetivo será convertir la operación de diferenciación en el dominio del tiempo en una multiplicación por la variable transformada en el dominio s:

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Este resultado es preliminar (posteriormente veremos quepuede aparecer algún término más).

A continuación, debemos especificar la forma que tendrá esta transformación, para lo cual consideraremos únicamente los valores positivos de t. Es decir, todas las funciones a considerar serán nulas para t a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchoscircuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuacionesse simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.

[editar] Propiedades

PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales. · A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar. ·Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, "). · Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él. Teorema Si c1 y c2son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces:
L {c1F1(t) + c2F2(t)}
= c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)}
= c1f1(s) c2f2(s)
Ejemplo1.
L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t}

= 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}
= 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1s3 s2 + 4 s + 1...