Descomposicion LU







Descomposición LU
Métodos numéricos




Descomposición LU de matrices
Este método para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre ya que está basado en ladescomposición de la matriz original conocida como “A” en el producto de dos matrices conocidas como “L” y ”U”.
L: Matriz triangular inferior
U: Matriz triangular superior con todos los elementos de ladiagonal iguales a 1.
A continuación mostraremos como seria la forma de las matrices A= LU.
A L U

A continuación, mientras vayamos explicando cómo se realiza la descomposición LUiremos realizando un ejemplo:
NOTA: recuerda que si es una matriz 2x2 se efectuara una iteración, si es una matriz 3x3 se efectuarán 2 iteraciones y así sucesivamente.
Resuelva el sistema deecuaciones siguiente por medio de la descomposición LU:
2x1 – 6x2 – x3 = –38
–3x1 – x2 + 7x3 = –34
–8x1 + x2 – 2x3 = –20
Primero vamos a encontrar el factor 1 y 2 utilizando como pivote la columna delnúmero 2
Factor 1 = (a21 / a11) = -3 / 2 = -1.5
Factor 2 = (a31 / a11) = -8 / 2 = -4
Después pasamos a encontrar U
a21 = - (-1.5) * (2) + (-3) = 0
a22 = - (-1.5) * (- 6) + (-1) = -10
a23 = -(-1.5) * (- 1) + (7) = 5.5
a31 = - (-4) * (2) + (-8) = 0
a32 = - (-4) * (- 6) + (1) = -23
a33 = - (-4) * (- 1) + (-2) = - 6
Donde nuestra matriz queda de la sig. Forma:
2x1 – 6x2 – x3 = –38
0 –10x2 + 5.5x3 = –34
0 – 23x2 – 6x3 = –20

Encontrando L
1 + 0 + 0 Y procedemos a sacar el factor 3 = (u32 / u22) = 23/ 10 = 2.3
-1.5 + 0 + 0
-4 + 0 + 0
Pasamos a realizar la segundaiteración
Encontrando U
a31 = - (2.3) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.3) * (-10) + (-23) = 0
a33 = - (2.3) * (5.5) + (- 6) = - 18.65

Donde nuestra matriz queda de la sig. Forma:
2x1 – 6x2 – x3 =–38
0 – 10x2 + 5.5x3 = –34
0 – 0 – 18.65x3 = –20
Encontrando L
1 + 0 + 0
-1.5 + 1 + 0
-4 + 18.65 + 1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]....