determinantes y cofactores

Menores y cofactores.
Expansi´n del determinante por cofactores
o
Objetivos. Definir menores y cofactores de una matriz, demostrar la f´rmula de expansi´n
o
o
por cofactores.
Requisitos. Definici´n y propiedades b´sicas del determinante de una matriz cuadrada.
o
a

Menores y cofactores
1. Motivaci´n del concepto de cofactor. El determinante de tercer orden se puede
o
escribir como unacombinaci´n lineal de los elementos de la primera fila, y los coeficientes
o
correspondientes son determinantes de segundo orden con ciertos signos:


A1,1 A1,2 A1,3
det  A2,1 A2,2 A2,3 
A3,1 A3,2 A3,3
= A1,1 (A2,2 A3,3 − A2,3 A3,2 ) − A1,2 (A2,1 A3,3 − A2,3 A3,1 ) + A1,3 (A2,1 A3,2 − A2,2 A3,1 )
= A1,1

A2,2 A2,3
A3,2 A3,3

+ A1,2 −

A2,1 A2,3
A3,1 A3,3

+ A1,3

A2,1 A3,2.
A3,1 A3,2

Vemos que det(A) se puede expandir en una suma de productos: las entradas de la primera
fila se multiplican por ciertos cofactores. Vamos a establecer una f´rmula similar para el
o
caso general.
2. Definici´n (menor de una matriz). Sea A ∈ Mm,n (F), 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ m,
o
1 ≤ j1 < j2 < . . . < jr ≤ n. El menor de rango r de la matriz A, correspondiente a las
filas i1, . . . , ir y las columnas j1 , . . . , jr , se define como el determinante de la submatriz
i1 i2 . . . ir
A{i1 ,...,ir },{j1 ,...,jr } y se denota por MA
.
j1 j2 . . . jr
3. Ejemplo. Sea



3 −4
1 0
2 −1 3  .
A= 7
2
3
1 4
Entonces MA

1 3
2 3

=

−4 1
3 1

= −7.

Expansi´n del determinante por cofactores, p´gina 1 de 4
o
a

4. Definici´n (cofactor). Sean A ∈ Mn(F), p, q ∈ {1, . . . , n}. El cofactor (o el adjunto)
o
de la entrada (p, q) de la matriz A se define como el menor correspondiente a las filas
{1, . . . , n} \ {p} y las columnas {1, . . . , n} \ {q}, multiplicado por (−1)p+q . Lo denotamos
por Ap,q :
1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n
Ap,q := (−1)p+q MA
.
1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
1, . . . , p − 1, p + 1, . . . , n
es eldeterminante de la matriz obte1, . . . , q − 1, q + 1, . . . , n
nida al eliminar la fila p y la columna q de A, as´ que
ı

Recordamos que MA

Ap,q = (−1)p+q det A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q} .

5. Ejemplo. Sea



−3 4
2
5 .
A= 1 0
7 3 −1
Entonces
A2,3 = det

−3 4
7 3

= −37.

6. Nota sobre la notaci´n. En muchos libros la (i, j)-´sima entrada de la matriz A se
o
e
denotapor ai,j y su cofactor se denota por Ai,j . En estos apuntos usamos la notaci´n Ai,j
o
para la (i, j)-´sima entrada de A y por eso introducimos otra notaci´n (no est´ndar) para
e
o
a
los cofactores.

7. Observaci´n muy importante: el cofactor de la entrada (i, j) no depende del
o
valor de la entrada A. Por definici´n, el cofactor de la entrada (i, j) se calcula usando
o
las entradas deA ubicadas en las filas {1, . . . , n} \ {p} y en las columnas {1, . . . , n} \ {n}.
Esto implica que el cofactor no depende del valor de la entrada (i, j). M´s a´n, el
a u
cofactor de la entrada (i, j) no depende de la i-´sima fila ni de la j-´sima columna de A.
e
e
Por ejemplo, las siguientes dos matrices A y B tienen el mismo cofactor (1, 3):




4 −2
6
−7 −9 5
7
8
8 −5  , B=  7
8 0  , A1,3 = B1,3 =
= −36.
A= 7
1 −4
1 −4 −1
1 −4 6

Expansi´n del determinante por cofactores, p´gina 2 de 4
o
a

8. Lema (determinante de una matriz con la primera fila casi nula). Sean A ∈
Mn (F), q ∈ {1, . . . , n}. Supongamos que a1,q = 0 para todo k ∈ {1, . . . , n}\{q}. Entonces
det(A) = A1,q A1,q .
Demostraci´n. Usando q − 1 transposiciones de columnas, desplacemosel elemento (1, q)
o
a la posici´n (1, 1). Formalmente, consideremos la matriz B que se obtiene de A al aplicar
o
las operaciones elementales:
Cq ↔ Cq−1 ,

Cq−1 ↔ Cq−2 ,

...

,

C2 ↔ C1 .

Entonces
B∗,1 = A∗,q ,
B∗,k = A∗,k−1 cuando k ≤ q;
B∗,k = A∗,k cuando k > q.
Como sabemos,
det(B) = B1,1 · MB

2 ... n
2 ... n

.

De aqu´
ı
det(A) = (−1)q−1 A1,q · MA

2, . . ....