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Algunas desigualdades importantes
Sebasti´n Barbieri a

29 de Septiembre de 2009

Desarrollar´ algunas desigualdades bastante hermosas que tienen que ver con e el an´lisis convexo. Esas ser´n: desigualdad de Jensen, desigualdad de Young, a a desigualdad de Holder y desigualdad de minkowsky. Las demostraciones las he extra´ de sitios de internet, y las he generalizado un poco a espaciosvectoriales ıdo normados cuando ha sido posible

Primero presentaremos la definici´n de convexidad: o Definici´n 1. Sea X un espacio vectorial normado, y f : X → R . Diremos o que f es convexa, s´ y solo s´ ∀x, y ∈ X y ∀t ∈ [0, 1] se satisface la siguiente ı ı desigualdad: f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y)

Con esto, estamos en condiciones de probar la desigualdad de Jensen: Teorema 1.Desigualdad de Jensen: Sea f una funci´n convexa definida en un o espacio convexo C. sean x1 , x2 , . . . xn ∈ C y sean λ1 , λ2 , . . . λn ∈ [0, 1] tales que n i=1 λi = 1. Luego se cumple ∀n ≥ 2 que.

n

n

f(
i=1

λ i xi ) ≤
i=1

λi f (xi )

Lo demostraremos por inducci´n, en efecto: o 1

Sea n = 2, luego corresponde a la definici´n. o

Supongamos que se cumple la hip´tesis inicial,probemos que tambi´n es o e v´lido para n + 1 a

El caso λn+1 = 1 resulta cumplir trivialmente la relaci´n. Para los dem´s o a n λi definamos αi = 1−λn+1 , notando que i=1 αi = 1. Luego:
n+1 i=1 n i=1

f(

λi xi ) = f ((1 − λn+1 )(

αi xi ) + λn+1 xn+1 )

pero notemos que eso es precisamente una funci´n convexa llevada a la deo sigualdad de la definici´n, luego: o
n i=1

≤(1-λn+1 )f (αi xi ) + λn+1 f (xn+1 )

Pero los αi cumplen la propiedad de la hipotesis inductiva, luego:
n i=1 n+1 i=1

≤(1-λn+1 )

αi f (xi ) + λn+1 f (xn+1 ) =

λi f (xi )

Con lo cual queda demostrada la desigualdad de Jensen.

Utilizaremos ahora esta desigualdada para demostrar un caso particular de la desigualdad de Young. (que en este texto llamaremos llanamente ((desigualdad de Young))).2

Teorema 2. Desigualdad de Young: Sean a, b ≥ 0 ∈ R, y sean p, q > 1 ∈ R tales que q es el exponente conjugado de p, es decir: p−1 + q −1 = 1. Luego se cumple que:

ab ≤

ap bq + p q

En efecto, resulta evidente que la funci´n f (x) = −ln(x) es convexa, luego, o utilizando el hecho de que p y q son exponentes conjugados (satisfacen la condici´n de λ para la convexidad: o
p

−ln( a+ p

bq q )

≤ −(ln(a) + ln(b)) ≤ −ln(ab)

Luego invertimos la desigualdad, y dado que la funci´n logaritmo es creo ciente, tenemos que:

ab ≤

ap bq + p q

Ahora, utilizaremos este resultado para probar la desigualdad de Holder, que representa una extensi´n de la desigualdad de Cauchy-Shwarz (correspondiente o a los casos p=q=2 Teorema 3. Desigualdad de Holder: Sean xi , yi con i = 1. . . n y p, q > 1 tal que q es el exponente conjugado de p, se tiene que:

n

n

1 p

n

1 q

|xk yk | ≤
k=1 k=1

|xk |p

·
k=1

|yk |q

En efecto:

Usaremos la desigualdad de Young para cada xk , yk

3

       |xi |
n

    1  p   |yi |
n



 |xi |
n

p

 |yi |
n

q    1  q  

|xk |p
k=1

|yk |q
k=1

   1   1  ≤ p q    

|xk |p
k=1

   1    1  + q p     |yi |q
n

|yk |q
k=1

 |xi |p
n

     

|xi yi |
n
1 p

n

1 q

|xk |
k=1

p k=1

|yk |

q

 1 ≤  p 

|xk |p
k=1

   1 +   q  

|yk |q
k=1

Luego, sumando sobre k.

n

|xk yk |
k=1 n
1 p

n

1 q

≤

1 1 + =1 p q

|xk |p
k=1 k=1

|yk |q

Con locual se concluye que:

n

n

1 p

n

1 q

|xk yk | ≤
k=1 k=1

|xk |

p

·
k=1

|yk |

q

4

Y ahora, finalmente, utilizaremos la desigualdad de Holder, para probar la desigualdad de Minkowsky (qui´n finalmente nos permitir´ estudiar los espacios e a Lp , dado que prueba la ((desigualdad triangular)) para normas definidas con exponente p). Teorema 4. Desigualdad de...