Diccionario

TP01 – Ecuaciones Diferenciales de 1º Orden
Ecuaciones Diferenciables:Una ecuación diferencial (E.D) es una ecuación matemática cuya incógnita es una función de una o varias variables, y que relaciona los valores de la función y sus derivadas hasta cierto orden.
Tipos de E.D:
1. Ordinarias: (EDO) Interviene sólo una variable independiente (y la función con sus derivadas ordinarias). Puedeexpresarse como donde
NOTA: En este curso trabajamos sólamente con EDO.
2. Parciales: Interviene más de una variable independiente (y la función con sus derivadas parciales). Puede expresarse como
Orden: Todas las EDO poseen orden, que corresponde al orden de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación.
Ejemplo: posee orden
Grado: Si la ecuación tiene forma polinómica, sugrado es el del exponente de la derivada de mayor orden (el que define el orden de la EDO).
Ejemplo: tiene grado .
NOTA: Este concepto tampoco lo vamos a estar usando en este curso.
Soluciones
1. General (SG): Es una familia de funciones que verifican la EDO y poseen constantes arbitrarias. (donde es el orden de la EDO).
2. Particular (SP): Es una función que verifica la EDO y se puedeobtener asignando valores a las constantes arbitrarias de la SG.
3. Singular (SS): Es una función que verifica la EDO pero no se deduce de la SG.

EDO de 1º orden:
1. EDO de variables separables:
Una EDO se dice que es de variables separables si mediante operaciones algebraicas se la puede llevar a la forma

o, usando la notacion de Leibniz

basta con integrar ambos miembros para hallarla solución.
2. EDO lineal de orden :
Se puede expresar de la forma


En particular EDO lineal de 1º orden es de la forma:

Hay varios métodos de resolución. Uno fácil es con la sustitución .
Si se dice que la EDO es homogénea (lineal de 1º orden).
Familias de curvas:
Una familia de curvas es un conjunto de curvas de la forma que satisfacen una ecuación implícita de la forma(con )
Es frecuente que la SG de una EDO quede definida por una ecuación implícita (define a implícitamente en función de ) tal que forme una familia de curvas en el plano.
1. Lineas de campo:
Dado un campo vectorial , una línea de campo es una curva tal que en todo punto su vector tangente es paralelo a .
2. Trayectoria ortogonal:
Dos curvas son ortogonales en un punto en común si ambasadmiten recta tangente en , y dichas rectas son ortogonales entre sí.
Enfoque cartesiano:


Condición de ortogonalidad:

es decir

Enfoque paramétrico:



Condición de ortogonalidad:




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TP02 – Topología
Espacio euclídeo:
Un espacio vectorial real junto con un producto interno forma una estructura que llamamosEspacio Euclídeo.
En esta materia vamos a trabajar con el espacio vectorial junto con el producto interno común (el producto escalar) definido como

Definimos la norma de un vector como

El producto escalar nos permite definir nociones de distancia y ángulo entre vectores de la siguiente manera

y

Entorno: El entorno de de radio son los tales que , es decir

Entorno reducido: Es el conjunto (excluye al propio punto ) de los tal que , es decir

Clasificación de puntos en (respecto de un subconjunto )
Sea , se dice que es
1. Interior: ( ) si existe algún entorno de cuyos puntos todos pertenecen al conjunto .
Es decir:
2. Exterior: si existe algún entorno de cuyos puntos ninguno pertenece a .
Es decir:
3. Frontera: ( ) si no es interior niexterior. (Todos sus entornos contienen tanto puntos que pertenecen a como puntos que no pertenecen a ). (Pertenece tanto a la clausura de como a la clausura de su complemento ).
Es decir:
Además:
1. de Clausura: ( )
Es decir:

Otra clasificación de puntos:
1. de Acumulación: ( ) Si todo entorno reducido del punto contiene puntos que pertenecen a .
Es decir, si se tiene (o...