Diferenciacion e integracion numerica

INDICE

INRODUCCION……………………………………………………………………….…..2
DIFERENCIACION NUMERICA...………………………………………………...........3
Formula de diferencia progresiva y regresiva………………………………….6
Formula de tres puntos…………………………………………………………...7
Formula de cinco puntos………………………………………………………….9
INTEGRACION NUMERICA……………………………………………………………11
Método del trapecio……………………………………………………………...12
Métodos deSimpson…………………………………………………………….15
Integración de Romberg…………………………………………………………17
Método de cuadratura gaussiana………………………………………………22
INTEGRACIÓN MULTIPLE……………………………………………………………..26
APLICACIONES………………………………………………………………………….30
CONCLUSION……………………………………………………………………………31
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………..32

INTRODUCCION

Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran diversos métodos para laresolución de problemas relacionados con la vida cotidiana.

Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de diferenciales como lo son la formula de diferencia progresiva y regresiva, la formula de tres puntos y la formula de cinco puntos, cada una detallada con ejemplos sencillos para su fácil comprensión.

También se discuten métodos desarrollados específicamente para el problemaformulado como una integral definida. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración de Romberg, método de cuadratura gaussiana.

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Se consideran algunas técnicas de aproximación paraderivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función. Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando lainformación original está bien aproximada, por lo que el error f’(x) – p’(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.

Ahora su p(x) es un polinomio de interpolación de f(x) entonces e(x) = f(x)- p(x) es el error de aproximación, por lo que e’(x)=(f(x) – p(x))’= f’(x) – p’(x) es el error de interpolación en la derivación de f(x) con respecto a laaproximación con el polinomio p(x).

Tomamos una función continuamente diferenciable en el intervalo y tomamos los puntos distintos en el intervalo.

De la igualdad:
Si f(x) es continua para toda x y f(x) es suficientemente suave se sigue que:

Para toda x y no solo para
Tomamos: ………….. (1)

Donde es el polinomio de grado <= k que interpola a f(x) en y tal que.

Para f(x)suficientemente suave tenemos:


Por hipótesis f(x) es continuamente diferenciable por lo que se puede derivar (1) por lo que obtenemos: … (2)
Definiendo el operador D como la derivada tenemos:
Con a en el intervalo [c,d], si aproximamos la derivada en f por medio de la derivada en el polinomio entonces por (2) el error en la aproximación es:
O bien:
…. (3) con

Es el error en ladiferenciación numérica nos dice poco sobre el error ya que casi nunca se conocen los valores de la derivada k+2 ni de la derivada k+1 y casi nunca se conocen los argumentos, Pero la expresión puede ser simplificada eligiendo el valor a de manera adecuada de tal forma que la derivada sea evaluada o bien eligiendo apropiadamente los puntos de interpolación.

Si a es un punto de interpolación tomamos paraalguna i, como contiene el factor se sigue qué y el primer término de (3) desaparece.

Mas aun con

Por lo que si elegimos para alguna i= 0,..,k tengo que (3) se reduce quedando el segundo término:
Con…. (4)
Otra manera de simplificar la expresión es mediante la elección de a tal que por lo que el segundo término de (3) desaparece para:
Para...