diseño y analisis de experimentos


Regresión lineal
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un métodomatemático que modela la relación entre una variable dependienteY, las variables independientesXi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.
: variables explicativas, independientes o regresores.
: parámetros, miden la influencia que lasvariables explicativas tienen sobre el regresando.
dondees la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.





ETIMOLOGIA

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio devariablesantropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tardecon la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
Pero bien, como se hadicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

EL MODELO DE REGRESION LINEAL
El modelo lineal relaciona la variable dependienteY con K variables explicativas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetrosdesconocidos:
(2)
dondees la perturbaciónaleatoria que recoge todos aquellos factores de larealidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Paraello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima(i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden conparámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

HIPTESIS MODELO DE REGRESION LINEAL CLASICO
1. Esperanza matemática nula.

Para cada valor de X la perturbación tomará distintos valores de forma aleatoria, pero no tomará sistemáticamente valores positivos o negativos, sino que se supone que tomaráalgunos valores mayores que cero y otros menores, de tal forma que su valor esperado sea cero.
2. Homocedasticidad
para todo t
Todos los términos de la perturbación tienen la misma varianza que es desconocida. La dispersión de cada en torno a su valor esperado es siempre la misma.
3. Incorrelación. para todo t,s con t distinto de s
Las covarianzas entre las distintas pertubaciones son nulas,lo que quiere decir que no están correlacionadas o autocorrelacionadas. Esto implica que el valor de la perturbación para cualquier observación muestral no viene influenciado por los valores de la perturbación correspondientes a otras observaciones muestrales.
4. Regresores no estocásticos.
No existen relaciones lineales exactas entre los regresores.
Suponemos que no existen errores de...