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Determinantes

Se define Determinante de una matriz cuadrada a la siguiente expresión:



Es decir que transforma una matriz cuadrada en un escalar k.

En general se aplica la siguiente regla nemotécnica:

diagonal secundariadiagonal principal

Se multiplican los elementos que están en la diagonal principal y se resta el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria o contradiagonal.

Completa la definición de Determinante los siguientes Axiomas:

Axioma 1:
Si en una matriz una columna es suma de dosvectores columnas, su determinante es igual a la suma de los determinantes de las matrices que tiene por dicha columna cada vector columna.
Ejemplo:


Axioma 2:
Si en una matriz un vector columna está multiplicado por un escalar a, su determinante es igual a a por el determinante de la matriz que se obtiene dividiendo dicho vector columna por a. (Recíproca de la distributiva).
Ejemplo:Axioma 3:
Si en una matriz dos vectores columnas son iguales, el determinante de la matriz es cero.
Axioma 4:
El determinante de la matriz identidad es igual a 1, ½I½ = 1

Propiedades de los Determinantes


El desarrollo de un determinante y su valor NO se altera si se considera la Matriz Trans­puesta.



Si se permutan dos columnas (filas) de unamatriz, el determinante cambia de signo.
Cambiando las dos últimas filas




Si una matriz tien sus columnas (filas) linelamente dependientes, el determinante es cero.


La tercera columna es igual a la primera columna más la segunda

Si en una matriz una columna es el vector nulo, su determinante es cero.


Si A y B sonmatrices cuadradas del mismo orden, se cumple:

det (A . B) = det (A) . det (B)


Una matriz cuadrada A es inversible sí y sólo si el det (A) ¹ 0


Métodos de resolución de Determinantes

Existen varios métodos de resolución de determinantes. La aplicación de uno de éstos dependerá del orden o tamaño de la matriz, a la cual se le calculará el determinante.

Los métodos para elcálculo de determinantes de 3º orden son, la Regla de Cramer y la regla de Sarrus.

Para determinantes de mayor orden se emplean los siguientes métodos: Método de Chío o del Pivote; Reducción a la forma escalonada; Desarrollo por cofactores o Método de Laplace. Estos métodos se pueden aplicar a los de 3º orden, pero es más complicado, por lo que se utilizan los específicos para ese orden. Enel cursado sólo se aplicará el Método de Chío o del Pivote para determinantes de orden superior al 3º.

Determinantes de 3º orden

Regla de Cramer

1º). Se realiza la suma de todos los productos de los elementos que están en la diagonal principal, luego los ubicados en la paralela a dicha diagonal por debajo y el elemento ubicado en el extremo superior de la diagonal secundaria, y lomismo se hace con los ubicados por encima de la diagonal principal y el elemento del extremo inferior de la diagonal secundaria.

2º). Se realiza la suma de todos los productos de los elementos que están en la diagonal secundaria, luego los ubicados en la paralela a dicha diagonal por debajo y el elemento ubicado en el extremo superior de la diagonal principal, y lo mismo se hace con los ubicadospor encima de la diagonal secundaria y el elemento del extremo inferior de la diagonal principal.

3º). Se resta a la suma de los productos obtenidos en el punto 1º, los obtenidos en el punto 2º. Dicho resultado es el valor del determinante.


det (A) = 30












Regla de Sarrus

1º). Se repite a continuación de la última fila / columna del...