Distribución de probabilidad de continua.

Distribución de probabilidad de continua.

Materia: Probabilidad y estadística
Profesor: Ing. Ismael Oscar Ramírez Zúñiga
Alumno: Rojas Delgado Héctor Jesús

Índice

4.1 Definición de variable aleatoria. 3
4.2 Función de densidad y acumulatividad. 15
4.3 Valor esperado, Varianza y desviación estándar.24
4.4 Distribución uniforme y exponencial. 27
4.5 Distribucion normal. 33
4.6 Teorema de Chevyshev 41

4.1 Definición de variables aleatorias continúas.
Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es unconjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.
Si una variable discreta toma los valoresx1,..., xk , la proposición de la página afirma que las probabilidad de que al hacer un experimento, X tome uno de esos valores es 1, de modo que cada posible valor xi contribuye con una cantidad f(xi) al total:

Aun cuando la variable tomase un número infinito de valores, x1, x2, ..., no hay ningún problema en comprobar que cada xi contribuye con una cantidad f(xi) al total de modo que

Cuandola variable es continua, no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de cada uno de los términos en el sentido anterior, ya que el conjunto de valores que puede tomar la variable es no numerable. En este caso, lo que generaliza de modo natural el concepto de suma () es el de integral (). Por otro lado, para variables continuas no tiene interés hablar de la probabilidad de que , ya queesta debe de valer siempre 0, para que la suma infinita no numerable de las probabilidades de todos los valores de la variable no sea infinita.
De este modo es necesario introducir un nuevo concepto que sustituya en v.a. continuas, al de función de probabilidad de una v.a. discreta. Este concepto es el de función de densidad de una v.a. continua, que se define como una función integrable, queverifica las dos propiedades siguientes:
 
y que además verifica que dado a<b, se tiene que

  
Figura: Función de densidad f. La probabilidad de un intervalo, es el área que existe entre la función y el eje de abscisas. |
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Observación
Por ser f una función integrable, la probabilidad de un punto es nula:

y por ello al calcular la probabilidad de un intervalo no afectara nadael que este sea abierto o cerrado por cualquiera de sus extremos, pues estos son puntos y por tanto de probabilidad nula:

La función de distribución de la v.a. continua, F, se define de modo que dado , F(x) es la probabilidad de que X sea menor o igual que x, es decir

  
Figura: Función de distribución F, calculada a partir de la función de densidad f. |
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Observación
Dado unintervalo de la forma (a,b], tenemos que

Es decir, la cantidad F(b) - F(a) representa la masa de probabilidad extendida a lo largo de dicho intervalo. Si dividimos esta cantidad por la longitud del intervalo,

Tenemos la masa media de probabilidad por unidad de longitud en (a,b], es decir, su densidad media de probabilidad. Si hacemos tender a hacia b,, la cantidad

es la densidad deprobabilidad del punto b (que como hemos mencionado no se ha de confundir con la probabilidad de b).

Proposición
Distribuciones continúas La función de distribución F, es no decreciente

Además, es una función absolutamente continua que verifica:

Demostración
Los sucesos

Y

son mutuamente exclusivos, siendo su unión el suceso . Por tanto

El resto es evidente pues por la...