Distribucio dels principals estadistics mostrals. mitjana variancia i proporcio

Introducció a l’estadística inferencial
Distribució dels principals estadístics mostrals: mitjana, variància i proporció 23 / 09 / 2011

Exemple
• Suposem que tenim una població formada per 4 famílies i volem estudiar el nombre de cotxes per família • Valor real desconegut
# cotxes és una variable aleatòria Família Nombre de cotxes Nombre de cotxes 1 2 4 Probabilitat 1/4 2/4 = 1/2 1/4

AB C D

1
2 2 4

• Població = {A, B, C, D} • Paràmetre = mitjana poblacional (m)

Exemple n = 2
Mostra 1 Mostra 2 Mostra 3 Mostra 4 Mostra 5 Mostra 6

Elements Probabilitat Estimació

{A, B} 1/6 1.5

{A, C} 1/6 1.5

{A, D} 1/6 2.5

{B, C} 1/6 2

{B, D} 1/6 3

{C, D} 1/6 3

Espai mostral

Estadístic 1.5 2 2.5 3

Probabilitat 2/6 = 1/3 1/6 1/6 2/6 = 1/3

Distribuciómostral m = 2.25

Error mostral
• Es defineix l’error mostral (o error de mostreig) com la diferència entre el resultat obtingut d’una mostra i el seu valor real (o poblacional) • L’error mostral es dona pel simple fet de fer servir una mostra enlloc del total de la població • A la pràctica, l’error mostral és desconegut, però existeixen tècniques per a intentar minimitzar-lo. • Generalment,podem controlar aquest error prenent una mostra suficientment gran i representativa de la població

Exemple n = 3
Mostra 1 Elements Probabilitat Estimació {A, B, C} 1/4 1.67 Mostra 2 {A, B, D} 1/4 2.33 Mostra 3 {A, C, D} 1/4 2.33 Mostra 4 {B, C, D} 1/4 2.66

Espai mostral

Estadístic 1.67 2.33 2.66

Probabilitat 1/4 2/4 = 1/2 1/4

Distribució mostral m = 2.25

Error estàndard
Suposemque tenim N!/n!(N-n)! mostres i calculem un

estadístic a cada una d’elles, p. ex. la mitjana, de manera
que tindrem N!/n!(N-n)! mitjanes. D’aquesta nova “població” d’estadístics en podem calcular

altres estadístics, com per exemple la desviació
estàndard. A aquesta desviació estàndard, se l’anomena

error estàndard de l’estadístic.
S’acostuma a anomenar desviació estàndard a la que fareferència als valors originals i error estàndard a la que es calcula a partir dels valors calculats o estadístics.

MITJANA MOSTRAL

La mitjana mostral
Tenim x1, x2, ... xi, ... xn valors d’una variable aleatòria X extrets d’una mostra de mida n, tals que: E(X) = m Var(X) = s2 Podem calcular:

x

x
i 1

n

i

, que també és una variable aleatòria

n

Característiques dela mitjana mostral

x

x
i 1

n

i

n


E (x )  m

2 sx

s2
n

sx 

s
n

Característiques de la mitjana mostral
x
   E ( x )  E   

x
i 1

n

i

n



 xi   1  n  1 i 1  xi    E n  n  i 1  n    
n




i 1

n

E ( xi ) 

1 nm ( m  ... m )  m n n

   2 s x  Var ( x )  Var    



 xi  1  n  1 i 1  xi   2   2 Var   n  n  i 1  n  
n



Var ( x ) 
i i 1

n

ns 2 n
2



s2
n

s x " SD"  SE 

s
n

Distribució de probabilitat
La distribució de la mitjana mostral depèn de les característiques de la població i de la mostra. Hipòtesi de normalitat:
Si la població és Normal, la mitjana mostral és normal

si X i ~ N ( m , s 2 ) i  X ~N ( m ,
Teorema central del límit:

s2
n

)

Si la mostra és suficientment gran (n ≥ 30), la mitjana mostral es pot estandarditzar i aproximar per la normal estàndard

si n  30 

X m

s n
2

~ N (0,1)

Si es desconeix s2 i es compleix l’anterior, aleshores:

X m S n
2

~ t n 1

Distribució t-Student
Es diu que una variable aleatòria X segueix una distribuciót-Student amb n graus de llibertat (X ~ t ) si és el quocient entre Normal estàndard i l’arrel quadrada d’una khi-quadrat amb n graus de llibertat dividida per n
n

Z X ~ tn Y n
1  ln x  m     2 s 
2

on, Z ~ N (0,1) Y~
E( X )  0 V (X )  n n2
2 n

f X ( x) 

1 xs 2

e

si

n  2

Distribució t-Student

FONT: Wikipedia (www.wikipedia.org)

k = graus de...