distribuciones discretas

5. Distribuciones discretas
-¿Qué tal van las clases,
Bartolo? Me pregunta mi
barbero.
-Bien... Dando probabilidad
y estadística... Respondo.
-¡Ah! Probabilidad... Yo
suelo jugar a la lotería...
Dice mientras me pasa la
cuchilla.
-Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos
posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de
probabilidad de ganar y un 50% de perder.-¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno
1
contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: solo son
posibles dos resultados: éxito o fracaso.
Podemos definir una variable aleatoria
discreta X tal que:
éxito → 1
fracaso → 0
Si la probabilidad de éxito es p y la de
fracaso 1 - p, podemos construir unafunción de probabilidad:
1− x

P( x) = p (1 − p )
x

x = 0,1

Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de
una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.
2

1− x

P( x) = p (1 − p )
x

x = 0, 1

Función de distribución:

1 − p, para x = 0
F ( x) = 
 1, para x = 1

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Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza
de la distribución deBernoulli.
1

E[ X ] = µ = ∑ x P ( X = x) =
x =0

0 ⋅ P ( X = 0) + 1 ⋅ P ( X = 1) = p
1

Var ( X ) = E[ X ] − ( E[ X ]) = ∑ x P( X = x) − p
2

2

2

x =0

= 0 ⋅ P( X = 0) + 1 ⋅ P( X = 1) − p =
2

2

2

p − p = p (1 − p )
2

4

2

Distribución geométrica
Consideremos el siguiente experimento:
Partimos de un experimento de Bernoulli donde la
probabilidad de que ocurra unsuceso es
p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra
q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento
hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable
aleatoria X, como el número de fracasos hasta que
se obtiene el primer éxito. Entonces:

G ( p ) = P( X = x) = (1 − p ) p,
x = 0 ,1, 2 , ...
x

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p(x)

G ( p) = P( X = x) = (1 − p ) p,
x = 0 ,1, 2 , ...
x

x
Funciónde distribución:
n

1
E( X ) =
p
1− p
Var ( X ) = 2
p

F (n) = ∑ (1 − p ) x p =1 − (1 − p ) n +1
x =0

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La probabilidad de que una muestra de aire contenga una
molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son
independientes respecto a la presencia de la molécula.
Determine cuál es la probabilidad de que sea necesario
analizar 125 muestras antes de detectar una molécularara

fx(125;0.01) = −1 0.01 =
(1 − 0.01)125
0.0029

Distribución binomial
La distribución binomial aparece cuando estamos
interesados en el número de veces que un suceso
A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de
un experimento.
P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en
un intento, entonces 1-p es laprobabilidad de que A
no ocurra (probabilidad de fracaso).
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Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.
Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (cara) = p.
Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

3 p 2 (1 − p )

3 p (1 − p ) 2

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Supongamos que el experimento consta de n
intentos y definamos la variable aleatoria:
X = Número de veces que ocurreA.
En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.

Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.
Si consideramos uno de estos valores, digamos el
valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x
no. Entonces la probabilidad de cada posible
xqn-x y existen  n  idénticas
 
ordenación es p
 x
 
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ordenaciones.

La función de probabilidad P(X = x) serála distribución binomial:

n x
n!
n− x
x
n− x
B (n, p ) = p ( x) =   p (1 − p ) =
p (1 − p )
 x
x!(n − x)!
 
Distribución binomial para n = 5 y
distintos valores de p, B(5, p)

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14

Características de la distribución
binomial
Media
µ = E(X) = n p
µ = 5 · 0.1 = 0.5
µ = 5 · 0.5 = 0.25

P(X)
.6
.4
.2
0

n = 5 p = 0.1
X

0

1

2

3

4

5...