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CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Uno de los objetivos de la estadística es conocer acerca del comportamiento de parámetros poblacionales tales como: la media ( μ ), la varianza ( σ 2 ) o la proporción ( p ). Para ello se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula el valor de un estadístico correspondiente, por ejemplo, la media muestral ( X ), la varianza muestral ˆ ( s 2 ) ola proporción muestral ( p ). El valor del estadístico es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada y, por lo tanto, el estadístico tiene una distribución de probabilidad la cual es llamada la Distribución Muestral del estadístico. El estudio de estas distribuciones es necesario para entender el proceso de inferencia estadística que será discutido en elpróximo capitulo.
En este capitulo se considerará la distribución muestral de dos estadísticos muy usados, la media muestral y proporción muestral.

6.1 Distribución de la Media Muestral cuando la población es normal
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n de una población infinita que tiene media poblacional μ y varianza σ 2 , entonces se tiene que: i) ii) La media de las medias muestrales esigual a la media poblacional. Es decir, μx = μ . La varianza de las medias muestrales es igual a la varianza poblacional dividida por n . En consecuencia la desviación estándar de las medias muestrales (llamada también el error estándar de la media muestral), es igual a la deviación estándar poblacional dividida por la raíz cuadrada de n . Es decir σ x =

σ

n

.

Si la población fuerafinita de tamaño N , entonces se aplica el factor de correción
N −n N −1

al error estándar de la media muestral. Pero en la práctica este factor es omitido a

menos que la muestra sea lo suficientemente grande comparada con la población. Si además la población se distribuye normalmente, entonces la media muestral también tiene una distribución normal con la media y varianza anteriormenteindicadas. Pero si la población no es normal solamente se cumple i) y ii). Cuando la muestra es grande se aplica el teorema de límite central para la distribución de la media muestral, este tema es tratado en la siguiente sección.

Edgar Acuña

Capítulo 6 Distribuciones Muestrales

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6.2 El Teorema del Límite Central
Un importante resultado en Probabilidades y Estadística es el llamadoTeorema del Límite Central que dice que si de una población infinita con media μ y varianza σ 2 se extraen muestras aleatorias de tamaño n , entonces la media muestral se comporta aproximadamente como una variable aleatoria normal con media igual a la media poblacional y con varianza igual a la varianza poblacional dividida por el tamaño de la muestra, siempre que n sea grande. Lo importante deeste resultado es que es independiente de la forma de la distribución de la población. Es decir,

X ~ N (μ ,

σ2
n

)

Cuando n es grande. Estandarizando, esto es equivalente a:
Z= X −μ

σ
n

~ N (0,1)

Si la población es bastante simétrica entonces, un tamaño de muestra n de aproximadamente 30 es suficiente para una buena aproximación a la normal. Si la población es bastanteasimétrica, entonces el tamaño de muestra debe ser mucho más grande. En MINITAB se puede tratar de corroborar el Teorema del Límite Central a través de un proceso de simulación.

Ejemplo 6.1 Considerar una población que consiste de 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 20. Primero calculamos la media y desviación estándar de dicha población. Descriptive Statistics
Variable C1 Variable C1 N 9 Min 3.00 Mean9.89 Max 20.00 Median 10.00 Q1 5.00 Tr Mean 9.89 Q3 13.50 StDev 5.42 SE Mean 1.81

Notar que μ = 9.89 y σ = 5.42 . Segundo, extraemos 30 muestras de tamaño 4 de dicha población, ejecutando 4 veces la siguiente secuencia Calc4Random Data4Sample from columns. Guardar cada una de las 4 observaciones de las muestras en 4 columnas distintas: Obs1, Obs2, Obs3, y Obs4.

Edgar Acuña

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