Divergencia vectorial

DIVERGENCIA DEL CAMPO VECTORIAL

Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia, también llamado Teorema de Gauss o Teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
Es un resultado importante en física, sobre todo enelectrostática y en dinámica de fluidos.
Sean N y U dos subconjuntos abiertos en R3 donde U⊂H es simplemente conexo y el borde U, S es una superficie regular o regular a trozos.
Sea F:H→ R3, un campo vectorial de clase C1, es decir F, cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

S ⋅n dS= V ∇∙F dV

Donde el vector n normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumenV.
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue anunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de físicagobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de Ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación:



Calcular el flujo del campo vectorial Fx,y,z=xi+yj+zk a través de la superficie esférica x2+y2+z2=4
Resolucion. A partirde la ecuación de la esfera se sabe que el radio es R=2 entonces: ∇∙F=∂f1∂x+∂f2∂y+∂f3∂z=1+1+1=3
Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:
S F∙ndS=V ∇∙FdV=V 3dV=V dV=3V=3×43π×23=32
El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado Teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en elinterior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroestática como en la mecánica de fluidos.
El teorema se anuncia asi: sea una función vectorial V diferenciable definida sobre un conjunto Ω⊂R3 y sea R⊂Ω un conjunto cerrado limitado por una frontera ∂R o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea n elvector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:
R divVdV=∂R V∙ndS
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre flujo entrante y flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene “fuentes” o “sumideros” la divergencia de dicho campo será diferente de cero.
Divergencia de un campovectorial
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:
divF=∇∙F=lim∆V→01∆V S F∙dS
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo ∇ representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si ladivergencia en un punto es positiva se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.
Se llaman fuentes escalares del campo F al campo escalar que se obtiene a partirde la divergencia de Fρr=∇∙F(r)
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
Coordenadas cartesianas
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
Fr=Fxx,y,zi+Fyx,y,zj+Fz(x,y,z)k
El resultado es sencillo:
∇∙F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z

Coordenadas ortogonales...