Eaajj

MATEMÁTICAS 4º ESO EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

Juan Jesús Pascual

1. Haz las siguientes multiplicaciones polinómicas:

a) b)

(x + (

27 ) = x 2 + 2 27x + 27 = x 2 + 6 3x + 27
2

2

31x − 5) = 31x 2 − 10 31x + 25

 x  x  x2 c)  + 3  − 3 = − 3     3    3   3 d) (x − 2 )⋅ (x + 2 2 ) = x (x + 2 2 ) − 2 (x + 2 2 ) = x 2 + 2 2x − 2x − 2 =

x 2 + 2x − 2e) (3x 2 − 3 ) = (3x 2 ) − 2 ⋅ 3x 2 ⋅ 3 + ( 3 ) = 9x 4 − 6 3x 2 + 3
2

2

f)

(2x 4 + 5 ) = (2x 4 )3 + 3 ⋅(2x 4 )2 ⋅ 5 + 3 ⋅(2x 4 )⋅( 5 ) + ( 5 ) =
= 8x 12 + 12 ⋅ 5x 8 + 30x 4 + ( 5 )
3

3

2

3

2. Simplifica las siguientes fracciones polinómicas:

a)

( 3x − 5 )⋅ 1 1 3x − 5 3x − 5 = = = 18x − 30 6 ⋅ 3x − 6 ⋅ 5 6 ⋅ ( 3x − 5 ) 6
6x 2 3x ⋅ 2x 2x = = 2 3x − 3x 3x (x − 1) x − 1b)

c)

(5x + 15)⋅ 1 1 5x + 15 5x + 15 = = = 25x + 75 5 ⋅ 5x + 5 ⋅ 15 5 ⋅ (5x + 15) 5
2

(x + 1) x+1 x 2 + 2x + 1 = = d) 2 x −1 (x + 1)(x − 1) x − 1
(x − 1) (x − 3) x − 3 x 2 − 4x + 3 = = x2 − 1 (x + 1) (x − 1) x + 1
3x 2 y - xy xy (x − 3) x = = 9xy - 3y 3y (x − 3) 3
1/6

e)

f)

MATEMÁTICAS 4ª ESO

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

g)

ab (a − b) a 2 b − ab 2 ab 1 = 22 = 2 2= 3 2 2 3 a b −a b a b (a − b) a b ab

3. Factoriza los siguientes polinomios:

a) P ( x) = x 2 − x − 6
Solución: Podemos factorizar el polinomio dado hallando las raíces de x 2 − x − 6 = 0 :

x −x−6 = 0 ⇒ x =

2

−(−1) ± (−1) − 4 ⋅ 1(−6) 2⋅1

2

=

 1 ± 25 x = 3 =   2  x = −2 

En ese caso, P ( x) = x 2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) Nota: Hubiésemos obtenido el mismoresultado descomponiendo el polinomio mediante el método de Ruffini. b) P (x) = x 4 − 5x 3 + 9x 2 − 7x + 2 Solución: Para descomponer P(x) vamos a utilizar el método de Ruffini: Las raíces enteras de P(x) van están entre los siguientes números, todos divisores de 2, es decir: ±1 y ±2 . Probamos con 1 y con 2: 1 1 1 1 1 1 1 -5 1 -4 1 -3 1 -2 9 -4 5 -3 2 -2 0 -7 5 -2 2 0 2 -2 0

Conclusión: 2 P (x)= (x − 1)(x − 1)(x − 1)( x − 2) = (x − 1) (x − 2)

2/6

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

MATEMÁTICAS 4º ESO

4. Haz las siguientes divisiones entre polinomios: a) (x2 – 4x + 3) : (x – 1) Solución: a) Método de Ruffini 1 1 1 –4 1 –3 3 –3 0
Resto: 0

Cociente: x – 3

b) Método general o estándar x2 –x2 0 – 4x x –3x 3x 0 +3 –3 0 Resto +3 x–1 x–3 Cociente

b) (3x2 + 1 – 5) : (x +2) Solución: a) Método de Ruffini 3 -2 3 1 -6 -5 -5 10 5 Resto

b) Método general

Cociente: 3x – 5

3/6

MATEMÁTICAS 4ª ESO 3x2 + –3x2 0 x –6x –5x 5x 0 –5 10 5 – 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS x+2 3x – 5
Cociente

Resto

5. Opera y simplifica las siguientes fracciones polinómicas. a)

1 1 1 x−1 x 1 1 + = = 2 + 2 + 2 = 2 x − 2x + 1 x − 1 (x − 1) x − 1 (x − 1) (x − 1) (x −1)
2

b)

x−1 x+1 1 x+1 x+2 x−1 x+1 + = = + = 2 + x − 2x + 1 x − 1 (x − 1) x−1 x−1 x−1 x−1
2

c)

x−1 x x−1 1− x x x−1 + − = =− − = 2 + x − 2x + 1 x − 1 x + 1 (x − 1) x − 1 x + 1
2

(x − 1) 1 x x−1 x − 1 x − 1 (x − 1)(x + 1) =− + − == − = − = x−1 x−1 x + 1 x − 1 x + 1 (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)
=
2 (x − 1) x 2 − 1 − x 2 + 2x − 1 2 == = (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) x + 1

2d)

1 x x + − = x − 2x + 1 x − 1 x + 1 1 x x 1 x x = 2 + − == − = 2 + x − 2x + 1 x − 1 x + 1 (x − 1) x − 1 x + 1
2

=

x (x − 1)(x + 1) x (x − 1) x+1 + − = 2 2 2 (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1) x + 1 + x (x − 1)(x + 1) − x (x − 1)
2

2

=

(x − 1) (x + 1)
x + 1 + x (x 2 − 1) − x (x 2 − 2x + 1)

2

=
x + 1 + x 3 − x − x 3 + 2x 2 − x = 2 (x − 1) (x + 1)

= =(x − 1) (x + 1)
2x 2 − x + 1 2 (x − 1) (x + 1)

2

=

4/6

EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS

MATEMÁTICAS 4º ESO

a2 − 1 2 2 − 2a e) a + 2a + 1 − = 1 a+1 a−1

(a + 1) (a − 1) (a + 1)
1 a−1
2

2 − 2a (a − 1) 2 − 2a − = − = a+1 (a + 1) a + 1

2

=

a 2 − 2a + 1 2 − 2a a 2 − 2a + 1 − 2 + 2a a 2 − 1 (a + 1) (a − 1) − = = = = a−1 a+1 a+1 a+1 a+1 a+1

   x−1 1 2 ⋅  x +...