EC_DIF2
Páginas: 50 (12450 palabras)
Publicado: 23 de septiembre de 2015
Apuntes de
Ecuaciones diferenciales ordinarias
El presente fue editado por JSCV bajo LATEX y editado del libro original
de la UAM - M´exico de los autores
´ Ventura Becerril Espinoza
Jose
David Elizarraraz Mart´ın
Determinaci´on + Disciplina + Trabajo duro = Camino al ´exito
-¡Hay que tener ganas!
Jaime Escalante
Casa abierta al tiempo
Capítulo 1
Introducción
"El lenguaje para entender a lanaturaleza es la matemática."
Galileo Galilei.
1.1
Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos
Una gran cantidad de leyes en la Física, Química y Biología tienen su expresión natural
en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. También, es enorme el mundo de las
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería, Economía, Ciencias Sociales,
Astronomía y en las mismasMatemáticas. La causa es simple, si un fenómeno se puede
expresar mediante una o varias razones de cambio entre las variables implicadas entonces
correspondientemente tenemos una o varias ecuaciones ecuaciones diferenciales.
El ejemplo más simple de una ecuación diferencial proviene de la segunda ley de
Newton F = raa, ya que si un cuerpo cae bajo la influencia de la fuerza de gravedad
entonces
y como adonde y(t) denota la posición del cuerpo al tiempo í, tenemos
que es una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es la función de posición y (i).
Si además suponemos que sobre el cuerpo actúa una fuerza de fricción con el medio
que lo rodea, cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea dy/dt, se sigue
que
de donde
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana(México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
Casa abierta al tiempo
Capítulo 1. Introducción
10
Otros ejemplos son las famosas ecuaciones en derivadas parciales del calor, de onda
y de Laplace, que tienen la forma
respectivamente, que han sido fuente inagotable de diversos trabajos deinvestigación.
En nuestro caso nos restringiremos al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
A continuación presentaremos algunos problemas que motivan el interés en el estudio de
estas ecuaciones.
EJEMPLO 1. ¿ Se puede predecir la población de un país?
La siguiente tabla muestra el número de millones de habitantes que había en toda la
República Mexicana, de acuerdo al censo del añoque se indica.
Año
Población (millones de hab.)
1900
13.61
1910
15.16
1920
14.33
1930
16.53
1940
19.65
1950
25.78
1960
34.92
Con base en los datos de la tabla y ubicándonos en el año de 1960, ¿se podría haber
hecho una estimación para la población de los años 1970 y 1980 ?
Solución. Una suposición razonable es que la rapidez de variación de la población con
respecto al tiempo es proporcionala la población, es decir si P(t) denota la población al
tiempo t entonces
donde a es una constante positiva.
Así, para conocer la población en cualquier tiempo hay que resolver la ecuación
anterior. La solución es P(t) = ceat, con c una constante arbitraria. Para determinar c
tenemos la condición inicial que en t = 0 (correspondiendo al año de 1950) la población
es 25.78, de donde P(t) =25.78eat.
Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P{IO) = 34.92.
En consecuencia
Ahora para 1970 la población aproximada sería P(20), que da por resultado
La población para 1980 se estimará en F(30) = 64.07.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de laUAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
Casa abierta al tiempo
1.2. Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos
11
Es interesante comparar los valores calculados con los que se reportaron en los censos
respectivos. Los censos realizados mostraron que la población en 1970 y 1980 fue de 48.22
y 67.41 millones de habitantes, respectivamente.
Con base en los dos últimos datos ¿qué...
Ecuaciones diferenciales ordinarias
El presente fue editado por JSCV bajo LATEX y editado del libro original
de la UAM - M´exico de los autores
´ Ventura Becerril Espinoza
Jose
David Elizarraraz Mart´ın
Determinaci´on + Disciplina + Trabajo duro = Camino al ´exito
-¡Hay que tener ganas!
Jaime Escalante
Casa abierta al tiempo
Capítulo 1
Introducción
"El lenguaje para entender a lanaturaleza es la matemática."
Galileo Galilei.
1.1
Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos
Una gran cantidad de leyes en la Física, Química y Biología tienen su expresión natural
en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. También, es enorme el mundo de las
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería, Economía, Ciencias Sociales,
Astronomía y en las mismasMatemáticas. La causa es simple, si un fenómeno se puede
expresar mediante una o varias razones de cambio entre las variables implicadas entonces
correspondientemente tenemos una o varias ecuaciones ecuaciones diferenciales.
El ejemplo más simple de una ecuación diferencial proviene de la segunda ley de
Newton F = raa, ya que si un cuerpo cae bajo la influencia de la fuerza de gravedad
entonces
y como adonde y(t) denota la posición del cuerpo al tiempo í, tenemos
que es una ecuación diferencial ordinaria, cuya solución es la función de posición y (i).
Si además suponemos que sobre el cuerpo actúa una fuerza de fricción con el medio
que lo rodea, cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea dy/dt, se sigue
que
de donde
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana(México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
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Capítulo 1. Introducción
10
Otros ejemplos son las famosas ecuaciones en derivadas parciales del calor, de onda
y de Laplace, que tienen la forma
respectivamente, que han sido fuente inagotable de diversos trabajos deinvestigación.
En nuestro caso nos restringiremos al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
A continuación presentaremos algunos problemas que motivan el interés en el estudio de
estas ecuaciones.
EJEMPLO 1. ¿ Se puede predecir la población de un país?
La siguiente tabla muestra el número de millones de habitantes que había en toda la
República Mexicana, de acuerdo al censo del añoque se indica.
Año
Población (millones de hab.)
1900
13.61
1910
15.16
1920
14.33
1930
16.53
1940
19.65
1950
25.78
1960
34.92
Con base en los datos de la tabla y ubicándonos en el año de 1960, ¿se podría haber
hecho una estimación para la población de los años 1970 y 1980 ?
Solución. Una suposición razonable es que la rapidez de variación de la población con
respecto al tiempo es proporcionala la población, es decir si P(t) denota la población al
tiempo t entonces
donde a es una constante positiva.
Así, para conocer la población en cualquier tiempo hay que resolver la ecuación
anterior. La solución es P(t) = ceat, con c una constante arbitraria. Para determinar c
tenemos la condición inicial que en t = 0 (correspondiendo al año de 1950) la población
es 25.78, de donde P(t) =25.78eat.
Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P{IO) = 34.92.
En consecuencia
Ahora para 1970 la población aproximada sería P(20), que da por resultado
La población para 1980 se estimará en F(30) = 64.07.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de laUAM®. E-libro Bibliomedia Bibliomedia@mail.com
Casa abierta al tiempo
1.2. Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos
11
Es interesante comparar los valores calculados con los que se reportaron en los censos
respectivos. Los censos realizados mostraron que la población en 1970 y 1980 fue de 48.22
y 67.41 millones de habitantes, respectivamente.
Con base en los dos últimos datos ¿qué...
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