Economia

1. La integral doble.

Supongamos que tenemos un rect´angulo en R2 de la forma

.

Denotamos por una partici´on P del rect´angulo anterior a una partici´on de cada uno de los intervalos que lo compone, es decir P ser´a de la forma P1 × P2 donde

P1 = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b}

y
P2 = {c = y0 < y1 < y2 < ... < ym−1 < ym = d}.

Esta partici´onpermite dividir el rect´angulo R en los siguientes subrect´angulos

{[xi−1, xi] × [yj−1, yj ] : i = 1, ..., n, j = 1, ..., m}.

Definici´on 1 Dada una funci´on f : [a, b] × [c, d] → R y una partici´on P que denotaremos con la notaci´on anterior, se define la suma superior y suma inferior de f respeto de la partici´on P a los siguientes valores

n m
S(f, P) = X X Mij (xi − xi
1)(yj
−yj−1)
i=1

y
n
j=1


m
s(f, P) = X X mij (xi − xi
1)(yj
− yj−1)


donde
i=1
j=1
Mij = sup{f (x, y) : (x, y) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1 , yj ]}

y
mij = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1 , yj ]}.

Estas sumas representan dos nu´meros, el primero de ellos mayor o igual y el segundo
menor o igual, respectivamente, que el volumen que encierra la superficie z = f (x, y) yel plano z = 0 en R. Si tomamos cada vez m´as puntos en las particiones, se observa que las sumas superiores y las inferiores se aproximan cada vez m´as.
Definici´on 2 Dada una funci´on f : R = [a, b] × [c, d] → R. Se define la integral superior de
f en el rectangulo R como

Z
f = ´ınf {S(f, P) : P es una partici´on de R}
R

y se define la integral inferior como
Z
f =sup{s(f, P) : P es una partici´on de R}.
R

Se dice que la funci´on f es integrable Riemann en R si su integral superior coincide con su integral interior. Al valor obtenido se le denomina integral de f en R y se denota por
Z Z Z
f o
R R


f (x, y) dx dy.

Dicho de una forma menos formal, la integral es el volumen que encierrala superficie z = f (x, y) y el plano z = 0 en R (teniendo en cuenta que el volumen por debajo de dicho plano se considerar´a negativo). El siguiente teorema nos permite reducirnos a resolver integrales en una variable.

Teorema 3 (Fubini) Sea f : R → R una funci´on continua en el rect´angulo R = [a, b]×[c, d]. Entonces
Z Z d µZ b
f =
¶
f (x, y)dx

dy =
Z b µZ d
¶
f (x, y)dydx.
R c a a c

Hasta ahora hemos definido la integral sobre rect´angulos, pero en R2 podemos tener mu- chas m´as regiones sobre las que integrar. ¿C´omo definimos all´ı la integral? Lo podemos hacer de la siguiente manera. Si tenemos una regi´on D acotada y consideremos R un rect´angulo con D ⊂ R, entoncesdada f : D → R, consideramos la nueva funci´on F : R → R definida como
½ f (x, y) si (x, y) ∈ D,
F (x, y) =
0 si (x, y) ∈/ D.

En esta situaci´on, diremos que f es integrable sobre la regi´on acotada D si F es integrable sobre el rect´angulo R, y definiremos en tal caso la integral doble de f en D como
Z Z
f (x, y) dx dy =
D
Z Z
F (x, y) dx dy.
R

Proposici´on 4Dadas dos funciones integrables f, g : D ⊂ R2 → R y λ, µ ∈ R. Entonces

(i) λf + µg es integrable en D, y
Z Z Z Z
(λf + µg)(x, y) dx dy = λ
D D
Z Z
f (x, y) dx dy + µ
D

g(x, y) dx dy.

(ii) Si f (x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) ∈ D entonces
Z Z
f (x, y) dx dy ≥
DZ Z
g(x, y) dx dy.
D
(iii) Si D = D1 ∪ D2 y D1 ∩ D2 tiene medida (´area) nula, entonces
Z Z
f (x, y) dx dy =
D
Z Z Z Z
f (x, y) dx dy +
D1 D2


f (x, y) dx dy.

Veamos ahora unos tipos de recintos sobre los que tenemos m´etodos para calcular la integral de una funci´on...