Economista

GUIA DE EJERCICIOS PARA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ITAM, Agosto 1998.

G. Grabisnky

1

INTRODUCCION

La siguiente lista de ejercicios constituye una gu
a para el estudiante del curso
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I y es tal s
lo eso, una gu
a, en consecuencia o
es incompleta por de nici
n. La selecci
n de los ejercicios pretende re ejar la variedad y o o laprofundidad que se pide del estudiante. Considero util que se haga uso de esta gu
a en el entendido de que su s
lo estudio no

o es su ciente por lo que hago un llamado al estudiante a profundizar m
s en cada tema y a a hacer m
s ejercicios de cada tipo, especialmente aqu
llos en el que se sienta menos seguro a e y para todo esto el trabajo de clase, los apuntes y nuestro texto sonfundamentales. Las preguntas de los ex
menes departamentales no ser
n necesariamente iguales a a a algunos de estos ejercicios, sin embargo s
podr
n ser similares tanto en su contenido as

a
como en su complejidad. Hago votos para que el lector encuentre en estas p
ginas un apoyo m
s para el curso. a a

G. Grabinsky.

2

EJERCICIOS
1. Encuentra un conjunto soluci
n de cada una de lassiguientes igualdades y desigualo dades: a

j2x + 4j + 5 = 11
b

jx + 2j  3
2

c

1,x x,4

0

d

x2 , 4  1 3x
e 4x2 + 5  1 2+x f g

x  2x 2+x

jx + 5j 2 jx , 1j
h 1 , 1 3x 27 i 3x + 2 , 11 x 3 j 2x , 3x + 5  0 ,x2 + 6x , 6 k x , 1x + 1x x2 , x , 12 3 0 0:2 0:1

2. Escribe los siguientes intervalos como el conjunto soluci
n de unadesigualdad de la o forma jx , x0 j para algunas x0 2 R y 0 a

I = 0; 3
b

I = ,3; 2
c

I = 3; 3 + a
3. Prueba:

ja + bj = jaj + jbj , ab  0

4. Prueba por inducci
n: o Si a1; a2; : : :; an 2 R entonces ja1 + a2 +


+ an j  ja1j + ja2 j +


+ jan j 5. Muestra con ejemplos que la suma, resta, producto y conciente de dos n
meros u irracionales podr
a no dar como resultadoun n
mero irracional.
u 6. Enuncia con todo detalle la propiedad arquemidiana y el axioma del supremo. 7. Usa la propiedad arquimediana para probar que
 si 0 x y entonces existe n 2 N tal que 1 n x y 8. Sin probarlo pero justi cando brevemente obt
n el supremo de S si: e a 2 4 S = 1; 3; 3; 5; : : : 2 4 b

S = f:7; :78; :787; :7878; : : :g
c

S = fx 2 Q : x

2

2g

u 9.Proporciona un ejemplo de un conjunto acotado S consistente solamente de n
meros irracionales tal que su supremo sea un n
mero racional. u 10. Escribe los siguientes decimales peri
dicos como cociente de dos n
meros enteros: o u a 4:017 b

,6:1532
4

c

,15:7915
d 0:012345 11. Encuentra un mn
mero racional y uno irracional entre: u 12. Qu
signi ca la a rmaci
n "Q es densoen R " ? e o 13. Detrmina el dominio de las siguientes funciones: a
s

5 a = 72 y b = 11

p

p

x2 x f x = x2 4 , x + 6 + x24+ 1 ,5
b 1 , x f x = xx x2 12x, 5 + x2 , 92 + c
s

s

f x = x2 , 9 + 4 , x2
14. Traza la gr
ca de y = f x si: a a
8

p

p

f x =
:

,2 si x  ,3 ,x + 1 si ,3 x ,1 jxj + 1 si ,1  x 2 0 si x=2 1 , x si 2 x  3 1 si 3 x jxj ,2 si jxj  1 ,x si 1 jxj  2 ,4 si jxj 2
2

b
8

f x =
15. Traza la gr
ca de y = f x si: a a

:

f x = jx , 3j + 3
5

b

f x = 3 , jxj
c

f x = jjxj , 3j
d

f x = jx2 , 9j + 3
e

f x = jx2 , 5x + 6j
16. Completa la siguiente tabla: a. 3x + 7 b. c. d. e. f. 17. Sup
n que o obt
n e tales que

f

g
x
1

2x , 1

g f x

x2
x x,1 xx,1
1 1+ x

jxj
x x3 , 5

p

x,5

p

f x = 2x , 3 g; h : R ! R f g x = x + 7 y hf x = x + 7; 8 x 2 R

18. Prueba que las siguientes funciones y = f x son biyectivas y obt
n x = f ,1 y  si: e a

f : R ! R; con f x = mx + b; m 6= 0
b

x f : ,1; 1 ! R; con f x = 1 , jxj
6

c 19. De ne:


f : R ! R; con f x = x , 33 , 1 f x =
x px si x  0...