Ecooo

INTRODUCCIÓ A LES DERIVADES I INTEGRALS
EXERCICIS RESOLTS DE LA UNITAT 12

1. El nombre d’alumnes d’un centre escolar afectats per la grip al llarg d’un mes ve
donat per la funció f(x) = 800 – x2. La variable x indica els dies del mes i f(x), el
nombre d’alumnes afectats. Calcula la taxa de variació mitjana corresponent als
intervals [3, 5], [13, 15] i [10, 20].
–

En quin d’aquestsintervals ha disminuït més ràpidament el nombre
d’alumnes malalts?

Resposta:

Calculem la taxa de variació mitjana en cadascun dels intervals:

TVM [3, 5] =

f(5) − f(3)
775 − 791
−16
=
=
= –8
5−3
2
2

TVM [13, 15] =

f(15) − f(13)
575 − 631
−56
=
=
= –28
15 − 13
2
2

TVM [10, 20] =

f(20) − f(10)
400 − 700
−300
=
=
= –30
20 − 10
10
10

En l’interval [10,20] ha disminuït més ràpidament el nombre de malalts, ja
que és on hi ha menor taxa de variació mitjana.

2. Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = –2x + 5 en els intervals
[–5, –3], [3, 5] i [10, 20].

Resposta:

TVM [–5, –3] =

f(−3) − f(−5)
11 − 15
−4
=
=
= –2
− 3 − (−5)
2
2

1

TVM [3, 5] =

f(5) − f(3)
−5 − (−1)
−5 + 1
−4
=
=
=
= –2
5−3
2
2
2TVM [10, 20] =

f(20) − f(10)
−35 − (−15)
−35 + 15
−20
=
=
=
= –2
20 − 10
10
10
10

3. Calcula el pendent de la recta secant a la gràfica
f(x) = x3 – 2x2 + 5x en els punts d’abscissa x1 = 0 i x2 = 2.

de

la

funció

Resposta:

El pendent de la recta secant coincideix amb la taxa de variació mitjana de la
funció entre els dos punts d’abscissa considerats. Per tant:m = TVM [0, 2] =

f(2) − f(0)
10 − 0
10
=
=
=5
2−0
2
2

4. La posició en funció del temps d’un mòbil que es desplaça seguint una
trajectòria rectilínia ve donada per:
f(t) = 50 + 150

t

essent t l’hora del dia i f(t), la seva distància a l’origen. Quan va més de pressa
el mòbil, entre les 2 h i les 4 h o entre les 7 h i les 11 h?

Resposta:

La velocitat mitjana del mòbilentre dos instants coincideix amb la taxa de
variació mitjana en els dos instants esmentats:

TVM [2, 4] =

f(4) − f(2)
350 − 262,13
=
= 43,93
4−2
2

TVM [7, 11] =

547,49 − 446,86
f(11) − f(7)
=
= 25,16
11 − 7
4

Per tant, el mòbil va més de pressa entre les 2 h i les 4 h, doncs la velocitat
mitjana és més gran.

2

5. Calcula la derivada de les funcions següents enels punts d’abscissa indicats:
a) f(x) = 3x – 5 ,

en x = 4

b) f(x) = 6x – x2 ,

en x = –1

c) f(x) = x2 + 5x – 3 ,
d) f(x) =

1
,
x

en x =

en x = 3

1
2

Resposta:

Apliquem la definició de derivada d’una funció f en el punt d’abscissa x = a:

f’(a) = lim

h→0

f(a + h) − f(a)
h

a) La derivada de la funció f(x) = 3x – 5 en el punt d’abscissa x = 4 és:

f’(4)= lim

h→0

f(4 + h) − f(4)
h

Primer calculem:
f(4 + h) = 3(4 + h) – 5 = 12 + 3h – 5 = 7 + 3h
f(4) = 3 — 4 – 5 = 12 – 5 = 7

Per tant, la derivada és:

f’(4) = lim

h→0

f(4 + h) − f(4)
7 + 3h − 7
= lim
h→0
h
h

= lim

h→0

Per resoldre la indeterminació simplifiquem el factor h:

f’(4) = lim

h→0

Així doncs:

3h
= lim 3 = 3
h→0
h

f’(4) = 3
3

3h
0=
h
0

b) La derivada de la funció f(x) = 6x – x2 en el punt d’abscissa x = –1 és:

f’(–1) = lim

h→0

f(−1 + h) − f(−1)
h

Primer calculem:
f(–1 + h) = 6(–1 + h) – (–1 + h)2 = –6 + 6h – (1 – 2h + h2) = –7 + 8h – h2
f(–1) = 6(–1) – (–1)2 = –6 – 1 = –7

Per tant, la derivada és:
f’(–1) = lim

h→0

f(−1 + h) − f(−1)
− 7 + 8h − h2 − (−7)
8h − h2
0
= lim
= lim
=
h→0
h→0h
h
h
0

Per resoldre la indeterminació factoritzem per h i simplifiquem aquest factor:
f’(–1) = lim

h→0

Així doncs:

8h − h2
h (8 − h)
= lim
= lim (8 – h) = 8
h→0
h→0
h
h

f’(–1) = 8

c) La derivada de la funció f(x) = x2 + 5x – 3 en el punt d’abscissa x = 3 és:

f’(3) = lim

h→0

f(3 + h) − f(3)
h

Primer calculem:
f(3+h) = (3+h)2 + 5(3+h) – 3 = 9 + 6h + h2+...