Ecuación

ECUACION DE LORENZ
El primer sistema de ecuaciones bien caracterizado que exhibía comportamiento caótico fue el sistema de ecuaciones propuesto por Lorenz:


donde  es el número de Prandtl (viscosidad/conductividad térmica),  es el número de Rayleigh (John Strutt) (diferencia de temperatura entre base y tope) y  es la razón entre la longitud y altura del sistema.
Lorenz observó dos cosasfundamentales que ocurrían en su ecuación:
1. Cualquier diferencia en las condiciones iniciales antes de los cálculos, incluso infinitesimal, cambiaba de forma dramática los resultados. Tan sólo se podía predecir el sistema por cortos períodos. Llevando eso a la meteorología, suponía lo que se llamó efecto mariposa, hipersensibilidad a las condiciones iniciales.
2. A pesar de lo anterior, laimpredecibilidad del sistema, lejos de ser un comportamiento al azar, tenía una curiosa tendencia a evolucionar dentro de una zona muy concreta del espacio de fases, situando una especie de pseudocentro de gravedad de los comportamientos posibles.
Las ecuaciones de Lorenz fueron propuestas como un modelo muy simplificado de la convección en forma de anillos que parece ocurrir a veces enla atmósfera terrestre. Por ello, las tres magnitudes a las que Lorenz se refiere en su sistema son,
 Razón de rotación del anillo.
 Gradiente de temperatura.
 Desviación de la temperatura respecto a su valor de equilibrio.
Lorenz descubrió que su sistema contenía una dinámica extremadamente errática. Las soluciones oscilaban irregularmente sin llegar a repetirse, aunque lo hacían en una región acotadadel espacio de fases. Vio que las trayectorias rondaban siempre alrededor de lo que ahora se define como atractor extraño. El sistema de Lorenz es disipativo.

TEOREMAS DE CONSUMO-INVERSION

El teorema o condición de Marshall-Lerner establece que — asumiendo se lleve a cabo una devaluación de una divisa — para que ésta tenga un impacto positivo en la balanza comercial, la suma de laselasticidades de precios de las importaciones y las exportaciones ha de ser, en valor absoluto, superior a 1.
Una devaluación del tipo de cambio significa una reducción de los precios en las exportaciones y por lo tanto el aumento de su demanda externa, al mismo tiempo que los precios de las importaciones aumentarán y su demanda interna disminuirá. (ver Oferta y demanda).
El efecto neto en la balanzacomercial dependerá entonces en las elasticidades relativas de los precios, si los precios de los bienes exportados son elásticos su demanda experimentará un aumento proporcionalmente mayor a la disminución de los precios, y el total de los ingresos por exportaciones aumentarán en la balanza comercial. Si los bienes importados también son elásticos el ingreso total por importaciones decaerá. Ambasvariaciones mejoraran el saldo de la balanza comercial.
Empíricamente, se ha demostrado que el consumo (o demanda) de los bienes tienden a ser inelástica en el corto plazo, ya que cambiar los patrones de consumo tarda cierto tiempo. Sigue que la condición de Marshall-Lerner no se cumple en ese corto plazo y una devaluación empeorará inicialmente la balanza comercial [cita requerida]. A largoplazo los consumidores se ajustarían a los nuevos precios y el saldo de la balanza comercial mejoraría. Esto da origen a la curva J que vista en una gráfica con el tiempo en el eje de las abscisas y la balanza comercial en el eje de las ordenadas representaría el desplazamiento en forma de "J" que esta última tiene a lo largo del tiempo después de una devaluación del tipo de cambio.

DERIVACIONMATEMATICA

Si definimos la balanza de pagos como:

Siendo  la balanza comercial,  las exportaciones,  las importaciones, y  los precios internacionales.
Una devaluación mejorará la balanza comercial únicamente sí:

Siendo la elasticidad de las exportaciones , y la de las importaciones , la inecuación puede expresarse así:

Si el saldo inicial es igual a cero, es decir , entonces:...