Ecuacion de fokker-planck

Nuevo Ecuación de Fokker-Planck
ECUACIÓN DE FOKKER-PLANCK
La mecánica estadística trata de explicar el comportamiento y propiedades de la materia a partir de las características físicas de sus constituyentes microscópicos. El logro más destacado de esta ciencia lo constituye la teoría de las colectividades que permite conectar las físicas microscópica y macroscópica de un mismo sistema físicosiempre que éste sea de naturaleza mecánica, y este en equilibrio termodinámico.
Los sistemas aislados siempre evolucionan en el tiempo hacia un estado estacionario único, independiente de las condiciones iniciales y, sin histéresis, que se denomina estado de equilibrio termodinámico. Es también posible alcanzar estados de equilibrio en sistemas no aislados, en los que se establezca unequilibrio mutuo entre el propio sistema y cada uno de los subsistemas físicos interaccionando con él. No obstante, la mayoría de los sistemas que encontramos en la naturaleza no se encuentran en equilibrio termodinámico. Así, los organismos vivos, los fluidos en régimen turbulento, o las estructuras organizadas espacio-temporalmente, son ejemplos de situaciones en las que existen flujos de materia,energía, u otra magnitud extensiva, entre el sistema y su entorno. Decimos en estos casos que dichos sistemas se encuentran en estados de no equilibrio. Si además, las propiedades macroscópicas del sistema no cambian con el tiempo, se habla de estados estacionarios de no equilibrio. Estos, constituyen la situación más sencilla posible fuera del equilibrio, y a diferencia de sus análogos de equilibrio,no son necesariamente únicos y pueden depender fuertemente de como haya sido la evolución previa del sistema.
En particular, estos sistemas suelen caracterizarse mediante ecuaciones dinámicas de tipo fenomenológico, que salvo excepciones son construidas mediante razonamientos heurísticos y no demostradas rigurosamente a partir de primeros principios. Así, por ejemplo, suele utilizarse ecuacionesde tipo Boltzmann, Navier-Stokes, Fokker-Planck, Langevin o ecuaciones maestras.
La ecuación de Fokker–Planck, denominada así por Adriaan Fokker y Max Planck, describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad que muestra la posición y la velocidad de una partícula, aunque puede generalizarse a otro tipo de variables. La ecuación se aplica a sistemas que pueden serdescritos por un pequeño número de "macrovariables", donde otros parámetros varían tan rápidamente con el tiempo que pueden ser tratados como "ruido" o una perturbación.
Ya que la ecuación de Fokker-Planck se refiere a la evolución de las distribuciones de probabilidad, debemos hacer algunos comentarios sobre los procesos de Markov. Supongamos que yi, es un evento aleatorio en el tiempo t (yi puedereferirse, por ejemplo, al conjunto de variables que caracterizan un estado microscópico de un sistema dado).
Una secuencia de sucesos aleatorios, (y1,t1), (y2,t2), (y3,t3) ....., tales que t1 < t2 <t3 <..., se llama de Markov si la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de ellos depende solo de la probabilidad de ocurrencia del evento inmediatamente anterior (es decir, si laprobabilidad de ocurrencia de cualquier elemento de la secuencia no depende de la "historia previa" del sistema).
Utilizararemos la notación P(yF,tF;yI, tI) para la probabilidad (condicional) de ocurrencia del evento yF, en el tiempo tF, conociendo la ocurrencia del evento yI, en el tiempo tI . Las secuencias Markovianas obedecen la relación de Chapman-Kolmogorov,
PyF,tF;yI, tI=kPyF,tF;yk, tkPyk,tk;yI,tI (16.35)
donde el subíndice k describe los eventos intermedios, entre el tiempo inicial tI y el final tF. En una versión continua, en las densidades de probabilidad, escribimos
pyF,tF;yI, tI=pyF,tF;yk, tkpyk,tk;yI, tIdyk (16.36)
Desde que el instante inicial de tiempo sea arbitrario, las probabilidades...