Ecuaciones de la parabola

Ecuaciones de la parábola
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y
coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o
parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V):Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el
vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los
brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d):Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos
de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice
y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasapor el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:

En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar
orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origenPrimeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen
(coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una
es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de
simetría coincide con el eje de las X (abscisas) yque está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro
p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto,
como vemos en la figura:

De lo anterior resulta:

(trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) ytermina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia
entre dos puntos:

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular
la distancia entre ellos:

Sustituyendo en la expresión de distancias

resulta:

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

(x + p)2 = (x –p)2 + y2
x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2
x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

y2 = 4px
que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
Laque ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”
Ecuación de la parábola

y2 = 4px

Ecuación de la directriz

x+p=0

Segunda posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola

y2 = –4px

Ecuación de la directriz

x–p=0

Tercera posibilidadCuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas “Y” .

Ecuación de la parábola

x2 = 4py

Ecuación de la directriz

y+p=0

Información importante:

El parámetro p (que marca la distancia focal) señala la distancia entre el foco y el vértice, que es igual a la
distancia entre el vértice y la directriz.
Si en la ecuación de la parábola la...