Ecuacion de la parabola en su forma general

Ejemplo I
Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y laposición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadasen un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las delorigen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:
(x – h)2 = –4p (y – k)
De las coordenadas del vértice se obtiene:
h = –4
k = 2
Seobtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:
p = 5 – 2
p = 3
Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:
(x – h)2 = –4p(y – k)
(x – (–4))2 = –4(3) (y – (+2))
(x + 4)2 = –12(y – 2)
(x + 4)2 = –12y + 24
Desarrollando el binomio al cuadrado
(x + 4) (x + 4) = x2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 = +12y – 24
Simplificando e igualando a cero laecuación se tiene:
x2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0
x2 + 8x + 12y – 8 = 0
Que es la ecuación buscada.
Ejemplo  II
Dada la ecuación de la parábola
y2 + 8y – 6x + 4 = 0,
encuentre las coordenadas del vérticey del foco, así como la ecuación de su directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Comoprimer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y2) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)
y2 + 8y = 6x – 4
Con la intención de factorizar se procedea la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto:
En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad...