Ecuaciones Diferenciales 1Erorden Metodos

3 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden I
3.1. Integración directa

Si la e.do. se presenta de la forma:
dy = g(x), dx

la solución general se calcula integrando:
y= g(x) dx.

Ejemplo:
dy = 7x2 + 2x → y = dx (7x2 + 2x) dx,

solución
y=

7 3 x + x2 + C. 3

3.2.

Variables separables

Si la e.d.o. se presenta de la forma
g(x) dy =, dx h(y)

la solución general se calcula:
h(y) dy = g(x) dx.

Ejemplo:
2x dy = , dx y+1

entonces
(y + 1) dy = 2x dx → (y + 1) dy = 2x dx,

solución

y 2 + 2y = 2x2 + C.

Ejemplo:
1

xy 4 dx + (y 2 + 2) e−3x dy = 0,
entonces

e3x x dx +
solución

y2 + 2 dy = 0 → y4 e3x (3x − 1) =

e3x x dx = − 6 9 + 3 + C. y y

y2 + 2 dy, y4

Observaciones:
Se obtiene una familiauniparamétrica de soluciones implícitas. Puede que se pierdan soluciones al hacer manipulaciones algebraicas.

3.3.

3.3.1. Diferencial exacta

Ecuaciones exactas

Se dice que M (x, y)dx+N (x, y)dy es una total de alguna función f (x, y). Es decir,

diferencial exacta en una región R del plano si es la diferencial

df (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy,
donde

M (x, y) =

∂f ∂x

N(x, y) =

∂f · ∂y

Condición necesaria y suciente para que la expresión M (x, y)dx + N (x, y)dy sea exacta.
Sean M (x, y) y N (x, y) funciones continuas, con derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano. Entonces una condición necesaria y suciente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy sea diferencial exacta es que

∂M ∂N = . ∂y ∂x

3.3.2. Ecuación diferencialordinaria exacta
Una ecuación M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es exacta si la expresión de la izquierda del igual es una diferencial exacta.

3.3.3. Solución de la ecuación exacta
Si encontramos f (x, y) tal que df (x, y) = 0, entonces la solución general de la ecuación es

f (x, y) = C,
donde C es una constante.

2

3.3.4. Cálculo de la solución de la ecuación exacta
Integrar la ecuación∂f = M (x, y) ∂x f (x, y) =

y se obtiene

∂f dx + c(y) = ∂x

M (x, y)dx + c(y).

Para calcular

c(y)

diferenciamos

∂f ∂ = ∂y ∂y
despejando

M (x, y)dx + c′ (y),

c′ (y) =
Finalmente sustituir

∂ ∂f − ∂y ∂y

M (x, y)dx = N (x, y) −

∂ ∂y

M (x, y)dx. f (x, y).

c(y)

calculado en el apartado anterior para obtener la expresión de

La solución de la ecuacióndiferencial exacta será

f (x, y) = C.

Ejemplo:
2xy dx + (x2 − 1) dy = 0.
Es exacta:

M (x, y) = 2xy , N (x, y) = x2 − 1

y

∂M ∂N = 2x = . ∂y ∂x
Existe una función

f (x, y)

tal que

∂f = 2xy ∂x

y

∂f = x2 − 1. ∂y

Integrando

∂f = 2xy ∂x

se obtiene

f (x, y) = x2 y + c(y). ∂f = x2 + c′ (y). ∂y N (x, y): → c′ (y) = −1 → c(y) = −y.

De lo anterior

Igualando esteresultado a

x2 + c′ (y) = x2 − 1
Así

f (x, y) = x2 y − y,
y la solución de la ecuación será

x2 y − y = C.

3

3.4.

Ecuaciones reducibles a exactas: factores integrantes

Si M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta multiplicando toda la ecuación por un factor apropiado µ(x, y) llamado factor integrante de la ecuación, tal que
µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0

sea exacta.
Ejemplo:

La ecuación
tan(y) + tan(x) y ′ = 0 → tan(y) dx + tan(x) dy = 0,

no es exacta

∂ 1 1 ∂ (tan(y)) = = = (tan(x)). ∂y cos2 (y) cos2 (x) ∂x

La ecuación equivalente
cos(x) sen(y) dx + sen(x) cos(y) dy = 0,

es exacta:
∂ ∂ (cos(x) sen(y)) = cos(x) cos(y) = (sen(x) cos(y)). ∂y ∂x

Resulta de multiplicar la ecuación por el factorµ(x, y) = cos(y) cos(x).

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Ejercicios del capítulo
1. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de enfriamiento)
dT = k(T − 70). dt

2. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de reacción química)
x′ = k(x − α)(x − β),

en los casos siguientes: (a) α = β

(b) α = β.

3. Resuelve, por separación de variables, la...