Metodos De Solucion De Ecuaciones Diferenciales

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
Antes de abordar este tema sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre algunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencial exacta o total de una función de dos variables f .x; y/ de la siguiente manera: df D @f@f dx C dy : @x @y

Comenzamos entonces con una definición básica. Una expresión M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: 1. M.x; y/ dx C N.x; y/ dy es la diferencial exacta de una función f . @f @f 2. Existe una función f .x; y/ tal que df D dx C dy D M.x; y/ dx C N.x; y/ dy. @x @y @f @f 3. Existe una función f.x; y/ tal que D M.x; y/ & D N.x; y/. @x @y Si M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar como df .x; y/ D 0 para alguna función f .x; y/, por lo que df .x; y/ D 0 , f .x; y/ D C ; donde C es una constante arbitraria. Diremos entonces que f .x; y/ D C , con C 2 R, es la solución general del la ecuación diferencial exacta M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0.1 canek.azc.uam.mx:

14/ 1/ 2010

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2 Ejemplo 2.6.1 Mostrar que la ED .3x 2 x 3 xy C y 3 D C . H En efecto, f .x; y/ D x 3 Luego: df D Por lo que: .3x 2 y/ dx C .3y 2 @f @f dx C dy D .3x 2 @x @y y/ dx C .3y 2 xy C y 3 ) y/ dx C .3y 2

Ecuaciones diferenciales ordinarias x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solución general

@f D 3x 2 @x

y

&

@f D x C 3y 2 : @y x/ dy :

x/ dy D0 es una ecuación diferencial exacta.

Su solución general es f .x; y/ D C . Esto es: x3 xy C y 3 D C :

Ejemplo 2.6.2 Mostrar que la ED .sen y Cy sen x/ dx C.x cos y cos x/ dy D 0 es exacta y que tiene por solución general x sen y y cos x D C . H En efecto, f .x; y/ D x sen y Luego: df D @f @f dx C dy D .sen y C y sen x/ dx C .x cos y @x @y cos x/ dy D 0 es una ED exacta : y cos x ) @f @f Dsen y C y sen x & D x cos y @x @y cos x :

Y su solución general es f .x; y/ D C . Esto es: x sen y y cos x D C :

En los dos ejemplos anteriores, la solución general f .x; y/ D C , cuya diferencial total df aparece en la ecuación diferencial exacta df .x; y/ D 0, fue proporcionada. Sin embargo, usualmente no sucede así, pues tenemos la ED y buscamos su solución. Esto plantea lasinterrogantes: 1. ¿Qué hacer cuando no se conoce la función f .x; y/, solución de la ecuación diferencial?. 2. ¿Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta?. 3. Y una vez identificada, ¿cómo calcular o determinar la función f .x; y/, solución de la ecuación diferencial?. Las respuestas a estas preguntas están dadas en el siguiente teorema. Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/, @M @N , & sonfunciones continuas en una región rectangular @y @x RD entonces M.x; y/ dx C N.x; y/ dy D 0 es exacta si y solo si .x; y/ 2 R2 a < x < b & ˛ < y < ˇ ; @N @M D @y @x

2.6 Ecuaciones diferenciales exactas en cada punto .x; y/ 2 R. El teorema anterior es equivalente al siguiente teorema: Teorema. Si M.x; y/, N.x; y/, @M @N , & son funciones continuas en una región rectangular @y @x RD entonces existe f.x; y/ tal que @f D M.x; y/ @x & @f @M @N D N.x; y/ si y solo si D @y @y @x .x; y/ 2 R2 a < x < b & c < y < d ;

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en cada punto .x; y/ 2 R. Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema. )) H Si existe f .x; y/ tal que En efecto @f D M.x; y/ @x & @f @M @N D N.x; y/ entonces D . @y @y @x

 à @f @ @ @f @ D D M.x; y/ ) M.x; y/ D fx D fxy : @x @y @y @x @y  à @ @ @f @ @f D N.x; y/) N.x; y/ D D fy D fyx : @y @x @x @y @x

También

Pero fxy D fyx por las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo tanto: @M @N D : @y @x Esta igualdad es la que nos permite identificar a una ED exacta. @N @f @f @M D entonces existe f .x; y/ tal que D M.x; y/ & D N.x; y/. @y @x @x @y H Para demostrar la existencia de la función f .x; y/ debemos construirla de tal manera...