Ecuaciones diferenciales ordinarias

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
CÁTEDRA: ANÁLISIS NUMÉRICO.

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Elaborado por:
ARREDONDO, Daniel.
BERIA, Adrian.
GARCÍA, Gleiber.
GÓMEZ, Amanda.
GÓMEZ, Javier.
GONZÁLEZ, Robneyl.
MARCANO, Johanny.
MARTÍNEZ, Francisco.
NAVARRO, Ronet.
PADRÓN, Manuel.
ROJAS, Georgina.TORRELLES, Luis.

Puerto Ordaz, Marzo de 2010.

INTRODUCCIÓN

El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar, de una manera eficiente, las soluciones de problemas expresados matemáticamente. La eficiencia del método depende tanto de la precisión que se requiera como de la facilidad con la que pueda implementarse. Para obtener tal aproximación se idea un método llamado algoritmo. Elalgoritmo consiste en una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático y se espera que también al problema físico, con una tolerancia o precisión predeterminada. Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, es por ello que se debe elegir el método apropiado para aproximar la solución de un problema.

En estetrabajo se presentarán los diversos métodos para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función específica de la variable independiente y de los parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original. Por ejemplo, para una función dada:

Y = -0,3 x4 + 3 x3 – 8 x2 + 5x + 2 (1)

La cual esun polinomio de cuarto orden, al diferenciarlo obtenemos una ecuación diferencial ordinaria (EDO):

dy = -1,2 x3 + 9x2 – 16 x + 5 (2)

dx

Esta ecuación describe el comportamiento del polinomio pero de una manera diferente. Más que representar de manera explícita los valores de “y” con respecto a “x”, representan la razón de cambio de “y” al variar “x”. Es posibleobservar como el valor cero de la derivada corresponde a los puntos 1 y 2 en los cuales la función original es plana (pendiente cero). Los valores máximos de la derivada están en los puntos de la curva original donde las pendientes de la función son mayores (puntos 3 y 4).

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Aún cuando podemos determinar una ecuación diferencial dando la función original, el objetivo ahora esdeterminar la función original dada la ecuación diferencial. La función original entonces representa la solución buscada. En lo que respecta al caso presentado se puede determinar la solución de manera analítica al integrar la ecuación:

Y = ( (-1,2 x3 + 9x2 – 16 x + 5 ) dx

Aplicando la regla de la integración: [pic] para n ( -1, obtenemos:

Y = -0,3 x4 + 3 x3 – 8 x2 + 5x + CLa cual se diferencia de la ecuación original porque no tenemos definido el valor de C, llamado constante de integración. El hecho de que aparezca esta constante C, indica que la solución no es única, lo será al poder determinar el valor exacto de C.

Por tanto para poder especificar la solución por completo, es necesario acompañar la ecuación diferencial por condiciones auxiliares.Para la EDO de primer orden requerimos del valor inicial para determinar la constante y obtener una solución única. Por ejemplo la ecuación en análisis se puede acompañar por la condición inicial que en x = 0, Y = 2. Estos valores pueden sustituirse en la ecuación (1) para determinar C = 2 . De allí que la solución única que satisface la ecuación diferencial y a la condición inicialespecificada se obtiene al sustituir C = 2 en la ecuación (1), para dar:

Y = -0,3 x4 + 3 x3 – 8 x2 + 5x + 2

Cuando se trabaja con una ecuación diferencial de n-ésimo orden, se requiere de n condiciones para obtener una solución única. Si se especifican todas las condiciones en el mismo valor de la variable independiente (por ejemplo: en x=0, t=0), entonces el problema se conoce como de valor...