Ejercicios Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Facultad de Cs. Físicas y Matemáticas

Universidad De Chile

Pauta P1 Control 2 MA2601-2 Otoño-2012

Profesora: Salomé Martínez
Auxiliares: Álvaro Bustos y Nicolás Torres
Ayudantes: MatíasYáñez y Carolina Mayol

P1 Resuelva las siguientes ecuaciones, determinando la solución al problema de valor
inicial o la solución general según corresponda:
1
a) y + 3y + 2y = 1+ex
Calculamos lasolución de la homogénea mediante su polinomio característico:

λ2 + 3λ + 2 = 0
⇒ (λ + 2)(λ + 1) = 0
⇒ yh (x) = Ae−2x + Be−x

Ahora se calcula la solución particular usando variación deparámetros:
yp (x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)
1
Denimos f (x) = 1+ex , además C1 (x) = −
Calculamos el wronskiano:

W (y1 , y2 )(x) =
⇒ C1 (x) = −
⇒ C2 (x) =

f (x)y2 (x)
W (y1 ,y2 ) dx

y C2(x) =

f (x)y1 (x)
W (y1 ,y2 ) dx

e−2x
e−x
−3x
−2x −e−x = e
−2e

1 e−x
dx = −
1 + ex e−3x
1 e−2x
dx =
1 + ex e−3x

e2x
dx = −ex + ln(1 + ex )
1 + ex
ex
dx = ln(1 + ex )
1 + exLuego yp (x) = −e−x + e−2x ln(1 + ex ) + e−x ln(1 + ex )
Por ende la solución general queda dada por:
y (x) = Ae−2x + Be−x + e−2x (ln(1 + ex ) − ex ) + e−x ln(1 + ex )

b) y − 5y = x − 2 concondiciones iniciales y (0) = 0 e y (0) = 2
Para calcular la solución usamos el método de coecientes indeterminados:
D2 (D2 − 5D)y = (x − 2)(D2 ) = 0
⇒ D3 (D − 5)y = 0

Por ende la solución generalqueda determinada por:
y (x) = A + Be5x + Cx + Dx2

donde yh (x) = A + Be5x e yp (x) = Cx + Dx2 .
Formamos la EDO original para determinar constantes:
y (x) = 5Be5x + C + 2Dx
MA2601-2 EcuacionesDiferenciales Ordinarias

Carolina Mayol Cotapos.
carolina.mayol@ug.uchile.cl
Autor:

1

Facultad de Cs. Físicas y Matemáticas

Universidad De Chile

y (x) = 25Be5x + 2D
⇒ y − 5y =25Be5x + 2D − 25Be5x − 5C − 10Dx = x − 2
⇒ x − 2 = 2D − 5C − 10Dx
⇒ 1 = −10D

Entonces: D =

−1
10

y,
−2 =

−1
− 5C
5

9
Por ende: C = 25
Ahora usamos las c.i para calcular las...