Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

CAP´ ITULO 1

Clasificaci´n de las ecuaciones diferenciales o
Una ecuaci´n diferencial ordinaria es una relaci´n en la cual intero o vienen una funci´n de una variable y una o varias de sus derivadas. En o general, esta funci´n es desconocida y se llama inc´gnita. Por ejemplo, o o y = x2 y +y =0
3

(1.0.1) (1.0.2)

d y dy 2 + = ey + sen t (1.0.3) 3 dt dt son ecuaciones diferencialesordinarias. Tenemos, por otro lado, el concepto de ecuaci´n diferencial parcial o en el cual se relacionan las derivadas parciales de una funci´n desconoo cida de dos o m´s variables independientes. Por ejemplo, a ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y 2 (1.0.4)

es una ecuaci´n diferencial parcial. o El orden de una ecuaci´n diferencial es el orden de la derivada m´s o a alta de la inc´gnita. As´ la ecuaci´n (1.0.1) esde primer orden, (1.0.2) o ı, o y (1.0.4) son de segundo orden y (1.0.3) es de tercer orden. Una ecuaci´n de la forma o dn y dn−1 y dy + a1 (x) n−1 + · · · + an−1 (x) + an (x)y = b(x) n dx dx dx es una ecuaci´n diferencial lineal de orden n. Observe que la variable o y y sus derivadas no aparecen afectadas mas que por el producto de las funciones ai (x). Por ejemplo, la ecuaci´n o a0 (x) d2 y +y2 = 0 dx2 no es lineal porque la variable y aparce elevada al cuadrado. Considere la ecuaci´n diferencial de orden n dada por la igualdad o x F x, y, dy dn y ,..., n dx dx
1

= 0,

(1.0.5)

2

´ 1. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

donde n es una funci´n de valores reales en n + 2 argumentos. Una o funci´n y = f (x) definida en un intervalo I es una soluci´n de una o oecuaci´n diferencial (1.0.5) en I si f junto con sus derivadas satisface o F x, f (x), f (x), . . . , f (n) (n) = 0. Por ejemplo, la funci´n y = sen t es un soluci´n de la ecuaci´n (1.0.2) o o o porque d2 (sen t) + sen t = − sen t + sen t = 0 dt2 En algunas ocasiones, una soluci´n de una ecuaci´n diferencial se preo o sentar´ de manera impl´ a ıcita, es decir, en la forma g(x, y) = 0. (1.0.6) Larelaci´n (1.0.6) se llama soluci´n impl´ o o ıcita si de ella se puede obtener, “despejando y”, al menos una soluci´n expl´ o ıcita y = f (x) de la ecuaci´n diferencial (1.0.5). En otras palabras, si podemos hallar una o funci´n y = f (x) tal que g(x, f (x)) = 0 y o F x, f (x), f (x), . . . , f (n) (n) = 0 para toda x ∈ I. Por ejemplo, x2 + y 2 − 1 = 0, y = 0, (1.0.7) es una soluci´n impl´ o ıcita dela ecuaci´n diferencial o x dy =− (1.0.8) dx y porque de ella podemos obtener dos funciones reales f1 y f2 dadas por √ √ f1 = 1 − x2 y f2 = − 1 − x2 , donde x ∈ (−1, 1), y estas funciones son soluciones expl´ ıcitas de la ecuaci´n (1.0.8). En efecto, mediante una sustituci´n se puede verificar o o que f1 y f2 son soluciones de la ecuaci´n (1.0.8). Tambi´n podemos o e derivar impl´ ıcitamente (1.0.7)y obtenemos dy dy x = 0 o bien =− . dx dx y Por otro lado, observe que derivando impl´ ıcitamente vemos que la relaci´n x2 + y 2 + 1 = 0 satisface formalmente la ecuaci´n difereno o cial (1.0.8). Sin embargo, en este caso no se define ninguna soluci´n o expl´ ıcita de ella. Regresemos al ejemplo (1.0.1). Sabemos del c´lculo que todas las a soluciones de esta ecuaci´n diferencial est´n dadas por oa 2x + 2y y = 1 x3 + C 3 (1.0.9)

´ 1. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

3

donde C es una constante real cualquiera. En este caso decimos que la expresi´n (1.0.9) representa la soluci´n completa de la ecuaci´n (1.0.1). o o o Esto significa que cualquier soluci´n a la ecuaci´n (1.0.1) est´ dada por o o a (1.0.9) tomando una buena elecci´n de la constante C. A la constante o C sele da el nombre de constante arbitraria o par´metro. Por ello, a a (1.0.9) se le llama familia param´trica de funciones. e Ser´ deseable que toda ecuaci´n diferencial de primer orden tenga ıa o como como conjunto de soluciones a una familia param´trica de fune ciones, sin embargo, la situaci´n no es tan sencilla. En efecto, en o muchos casos el conjunto de todas las soluciones ser´ una familia...