Ecuaciones Diof Nticas II

“Si dos errores no
producen un acierto,
intenta tres”

Anónimo

Introducción a la Teoría de Números

ECUACIONES

DIOFÁNTICAS
II PARTE


Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez.

Ecuacionesdiofántinas lineales
con más de dos incógnitas



Teorema: La ecuación diofántica
a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = d

tiene solución si y solo si el máximo común
de los coeficientes ai es divisor de d.Solución para el caso n = 3
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



Consideremos la ecuación:
a1x1 + a2x2 + a3x3 = d
Hacemos g = (a1,a2) y escribimos la
ecuación de la forma gy + a3x3 = d (2)
donde
gy = a1x1 + a2x2 (3)
Resolvemos laecuación (2) ya sea por
congruencias, fracciones continuas o
mediante el algoritmo de Euclides.
Finalmente, resolvemos (3).

Ejercicios: Resolver
8x + 20y + 5z = 45
 20x + 12y – 30z = 8




NOTA:este método no es infalible pues falla
cuando los coeficientes de la ecuación
original son coprimos dos a dos.

Método General
Para resolver la ecuación ax + by + cz = d
resolveremos el sistema:
ax + by+ cz = d
a’x + b’y = y’
a’’x + b’’x + c’’z = z’
Considerando a y’, z’ como parámetros
arbitrarios.
 Los valores de a’ y b’ son unas soluciones
particulares r y s de la ecuación:
as – br = g


Formamos y resolvemos la ecuación:
gu – cv = 1



Con las soluciones particulares u, v
determinamos a’’ = av/g, b’’ = bv/g y c’’ =
u.



Resolvemos el sistema formado por la Regla
de Cramer

Otrasecuaciones
Diofánticas
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

Ecuaciones de la forma  x2 - y2 = a
Como x2 - y2 = (x + y)(x - y). La ecuación queda (x - y)(x +
y) = a.
Ahora hacemos a = bc.
b y c deben ser ambos pares o ambosimpares, pues la
suma de dos números y su diferencia son ambas pares o
ambas impares. Entonces 
x-y=b
x+y=c
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2
y = (b + c) / 2

Ecuaciones de la forma x2+ y2 =
z2
Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución
de la ecuación también lo es ax, ay, az para cualquier a .De ahí
se deduce que encontrada una solución hay infinitas.
...