ecuaciones

Semana 2 - Clase 6

Tema 1: Series

19/10/10

Series de Polinomios Ortogonales
Enunciaremos un teorema debido a Weierstrass el cual garantiza que una funci´n cont´
o
ınua
en un intervalo [a, b] puede ser aproximada uniformemente por una serie de polinomios. Por
lo tanto, cualquier funci´n cont´
o
ınua podr´ ser aproximada por combinaciones lineales de
a
potencias.
El Teorema deaproximaci´n polin´mica de Weiernstrass queda enunciado como sigue.
o
o
Cualquier funci´n cont´
o
ınua f (x) en un intervalo cerrado x ∈ [a, b] podr´ ser aproximada
a
uniformente por polinomios en ese mismo intervalo si, para un n suficientemente grande y
un suficientemente peque˜o siempre se tiene que
n
|Pn (x) − f (x)| <

∀ x ∈ [a, b]

Aceptaremos este teorema sin demostraci´n1 , sinembargo este teorema nos permitir´ desao
a
rrollar las secciones siguientes.

1.

Polinomios de Legendre

El primero de los ejemplos de una base ortonormal de polinomios en la cual podremos
expresar cualquier funci´n cont´
o
ınua en el intervalo cerrado x ∈ [−1, 1] ser´n los Polinomios
a
de Legendre. Estos vienen construidos a partir de la F´rmula de Rodr´
o
ıgues
Pn (x) =

1 dn 2(x − 1)n ,
n!2n dxn

n = 0, 1, 2, .....

con P0 (x) = 1.
Es decir
P0 (x) = 1
1
P2 (x) = (3x2 − 1)
2
1
P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3)
8
.
.
.

P1 (x) = x
1
P3 (x) = (5x3 − 3x)
2
1
P5 (x) = (63x5 − 70x3 + 15x)
8
.
.
.

1

Consultar: Byron, F.W. y Fuller W.F. (1970) Mathematics of Classical and Quantum Physics y
Cushing, J. (1975) Applied Analytical Mathematics forPhysical Sciences.

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida
e

Semana 2 - Clase 6

1.1.

Tema 1: Series

19/10/10

Generalidades de los Polinomios de Legendre

Es f´cil comprobar que los polinomios de Legendre son mutuamente ortogonales para un
a
producto interno definido de la siguiente manera
1

Pn (x)Pm (x)dx =
−1

2
δnm .
2n + 1Donde la funci´n delta de Kronecker es δαβ = 0 si α = β; y δββ = 1. La norma es definida
o
por
1
2
2
Pn (x)dx =
2n + 1
−1
n´tese que los polinomios de Legendre, calculados a partir de la F´rmula de Rodrigues no
o
o
est´n normalizados.
a
Ejemplos:
1.

1

1

1

1
P1 (x) P2 (x) dx =
[x]
3x2 − 1
2
−1
−1

dx =
−1

3 3 1
x − x dx = 0 .
2
2

2.
1

1

1
3x2 − 12

P2 (x) P2 (x) dx =
−1

−1

1

1
3x2 − 1
2

dx =
−1

9 4 3 2 1
x − x +
4
2
4

dx =

Al ser los Polinomios de Legendre un conjunto completo de funciones, ellos expanden el
espacio de funciones cont´
ınuas en el intervalo cerrado x ∈ [−1, 1]. Por ello cualquier funci´n
o
en el intervalo [−1, 1] puede ser expresada en esa base.
∞

f (x) =
k=0

2k + 1
2

1

f(t)Pk (t) dt Pk (x) ,
−1
ak

los primeros t´rminos son:
e
1
2
7
+
4

1

f (x) =

f (t)dt +
−1

3
2

1

tf (t)dt P1 (x) +
−1

1

9
(5t3 − 3t)f (t)dt P3 (x) +
16
−1

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez
e
a
u˜

2

5
4

1

(3t2 − 1)f (t)dt P2 (x)
−1

1

(35t4 − 30t2 + 3)f (t)dt P4 (x) + · · ·
−1

Universidad de Los Andes, M´rida
e

2
.
5

Semana 2- Clase 6

Tema 1: Series

19/10/10

Ejemplos
1. Si f (x) es un polinomio
∞

m
n

f (x) =

bn x =
n=0

an Pn (x) ,
n=0

entonces, no se requiere hacer ninguna integral por cuanto los coeficientes an se determinan a trav´s de un sistema de ecuaciones algebraicas. Para el caso de f (x) = x2
e
tendremos
f (x) = x2 = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + a2 P2 (x)
1
= a0 + a1 x + a2 (3x2 −1)
2
3
1
2
1
=
a0 − a2 + a1 x + a2 x2 ⇒ a0 = , a1 = 0 , a2 =
2
2
3
3
2
1
P0 (x) + P2 (x) .
=
3
3
2. En el caso de una funci´n mas complicada
o
f (x) =

1−x
,
2

por un lado
1

1

f (x)Pk (x)dx =
−1

−1

1−x
Pk (x)dx
2

la expansi´n en series de Legendre quedar´ como
o
ıa
1
1−x
=
2
2
+

7
4

1

3
1−t
dt +
2
2

−1
1

(5t3 − 3t)
−1...