Ecuaciones

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección
centraremos la atención en las ED lineales.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma
a0 .x/

dy
C a1 .x/y D g.x/; donde
dx

a0 .x/ ¤ 0:

Una ecuacióndiferencial lineal homogénea de primer orden es de la forma
a0 .x/

dy
C a1 .x/y D 0; donde
dx

a0 .x/ ¤ 0 :

Observación. En este caso g.x/ D 0.
Ejemplo 2.3.1 Mostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales:
1. xy 0

y D x2.

2. y 2 x 0 C 2yx D 3y.
3. .2y C 1/ dx C .y 2 x
H

y

x/ dy D 0.

Ahora tenemos:
1. a0 .x/ D x, a1 .x/ D 1 & g.x/ D x 2 .
x es la variableindependiente y la variable dependiente es y.
2. a0 .y/ D y 2 , a1 .y/ D 2y & g.y/ D 3y.
y es la variable independiente y la variable dependiente es x.

1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias
3. Realizando algunas operaciones:
.2y C 1/ dx C .y 2 x
) .2y C 1/

dx
C y2 x
dy

y

x/ dy D 0 ) .2y C 1/

x D y ) .2y C 1/

Vemos que a0 .y/ D 2y C1, a1 .y/ D y 2

dx
C y2 x
dy

dx
C .y 2
dy

y

xD0 )

1/x D y:

1 & g.y/ D y.

y es la variable independiente y la variable dependiente es x.

Ejemplo 2.3.2 Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales homogéneas:
1. xy 0

y D 0.

2. y 2 x 0 C 2yx D 0.
3. .2x C 5/y 0 C .x 2
H

5/y D 0.

En estos casos tenemos:
1. a0 .x/ D x, a1 .x/ D 1.
2. a0 .y/ D y 2 ,a1 .y/ D 2y.
3. a0 .x/ D 2x C 5, a1 .x/ D x 2

2.3.1

5.

Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea

Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos
procedimientos.
Primer procedimiento. La ecuación diferencial a0 .x/
a0 .x/

dy
C a1 .x/y D 0 es separable. En efecto:
dx

dy
dy
C a1 .x/y D 0 ) a0 .x/
D a1 .x/y)
dx
dx
dy
a1 .x/
dy
a1 .x/
)
D
y )
D
dx )
dx
a0 .x/
y
a0 .x/
dy
a1 .x/
)
D p.x/ dxI donde p.x/ D
y donde a0 .x/ ¤ 0 :
y
a0 .x/

Integrando se obtiene:
dy
D
y

p.x/ dx ) ln y C C1 D
) ln y D
) y D Ce

Ejemplo 2.3.3 Resolver la ED:

x

p.x/ dx C C2 )

p.x/ dx C C ) y D e
R

p.x/ dx

R

p.x/ dxCC

I donde C es arbitrario.

dy
C x 3 y D 0; con x ¤ 0:
dx

) yDe

R

p.x/ dx C

e

)

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales
H

3

Separando las variables:
x

dy
dy
dy
C x3y D 0 ) x
D x3y )
D x 2 dx :
dx
dx
y

Integrando:
dy
D
y

x 2 dx ) ln y C C1 D
) ln y D
) y D Ce

x3
C C2 )
3

x3
CC ) y De
3
x3
3

x3
3

) y D eC e

CC

x3
3

)

:

Esta última expresión es la solución general de laED.
Segundo procedimiento. Lo primero que se hace es normalizar la ecuación diferencial, es decir, dividimos
la ecuación diferencial entre a0 .x/ ¤ 0 para obtener el coeficiente del término con mayor derivada
igual a uno:
a0 .x/

dy
a1 .x/
dy
dy
C a1 .x/y D 0 )
C
yD0 )
C p.x/y D 0 )
dx
dx
a0 .x/
dx
) y 0 C py D 0 :

a1 .x/
, con la restrición a0 .x/ ¤ 0.
a0 .x/
A continuaciónse hacen las siguientes consideraciones:

Como antes, denotamos p.x/ D

a. Se define
.x/ D e

R

p.x/ dx

:
R

En este caso no usamos la constante de integración de la integral e p.x/ dx para obtener una
función .x/ lo más sencilla posible.
Por el teorema Fundamental del Cálculo, al derivar obtenemos:
Â
Ã
R
R
R
d
d
p.x/ dx
p.x/ dx d
D
e
De
p.x/ dx D e p.x/ dx p.x/ D p:
dx
dx
dx
es decir:
0

b. Por otro lado

d
. y/ D
dx

dy
d
Cy
D
dx
dx

D p:
dy
Cy p D
dx

Â

Ã
dy
C py :
dx

Igualdad que se escribe como:
(2.1)

. y/ 0 D .y 0 C py/ :
Para resolver la ecuación diferencial y 0 C py D 0:
a. Se multiplica la ecuación diferencial por la función .x/ D e
.y 0 C py/ D 0 :
b. Se aplica la igualdad anterior (2.1):
. y/ 0 D 0 :...