Ecuaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N


Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno, es decir, [pic]
. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden:


Esta es la ecuación lineal completa de coeficientes variables, dada en un abierto [pic]
de la recta real, en el que se debe cumplir que [pic]
, y que [pic]
y [pic]
son funcionescontinuas en [pic]
. En el caso particular de que [pic]
se llamara ecuación homogénea de coeficientes variables.


Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:


[pic]


En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquí puede haber varias, una o ninguna solución.


TEOREMA(De superposición): Sean [pic]
soluciones de la ecuación diferencialEntonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones es solución de la ecuación diferencial.


Empezaremos por estudiar la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa dada (haciendo [pic]
). Después pasaremos a estudiar la ecuación completa. La solución vendrá dada por la solución general de la homogénea más una solución particular de la completa.


2. ESTUDIODE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:


Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden [pic]
lineales y con coeficientes constantes:


2.1. RESOLUCIÓN DE LA HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES:


Dichas ecuaciones son de la forma:





[pic]


Las soluciones son de la forma[pic]
, con lo cual:


[pic]


Sustituyendo:


[pic]


Como [pic], ha de ocurrir que:


[pic]


A dicha expresión la llamamos ecuación característica. Si [pic]
es solución de la ecuación característica, entonces [pic]
es solución de la ecuación diferencial. Por tanto la ecuación lineal tiene [pic]
soluciones linealmente independientes. Las soluciones de la ecuación característica pueden ser de diversos tipos:


• Reales simples:


En este casotenemos [pic]
. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial correspondiente serán:


[pic]


• Reales múltiples:


Tenemos [pic]
con multiplicidades [pic]
respectivamente. Cada solución [pic]
, con multiplicidad [pic]
, da [pic]
soluciones:





[pic]


• Complejas simples:


Las soluciones son [pic]
(excluimos las raíces conjugadas, ya que aportan las mismassoluciones que las originales). Aportan dos soluciones cada una


[pic]


• Complejas múltiples:


Cada solución (excluyendo las conjugadas) [pic]
con multiplicidad [pic]
da dos veces su multiplicidad de soluciones:


[pic]


La solución total será de la forma:


[pic]


Después de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes vamos aestudiar las de coeficientes no constantes. Evidentemente las soluciones de la ecuación diferencial deben pertenecer a [pic]
. Ahora vamos a enunciar y demostrar un teorema que nos asegura que las soluciones de la ecuación forman un [pic]
de [pic]
. Definiremos además el Wronski ano, concepto que será necesario más adelante.


TEOREMA: El conjunto [pic]
de todas las funciones [pic]
definidas en[pic]
que son solución de la ecuación diferencial dada es un [pic]
de [pic]


Demostración:


Construimos una familia [pic]
tal que [pic]
sea solución de la ecuación diferencial dada, y esté definida completamente de la forma:


[pic]


Siendo [pic]
.


Veamos ahora que son linealmente independientes. Para ello habrá que comprobar que:


[pic]


WRONSKIANO: Sea [pic]
unconjunto de funciones pertenecientes a [pic]
. Vamos a asociar a ese conjunto de funciones una aplicación:


[pic]


tal que la aplicación parte del intervalo [pic]
a los reales, asociando a cada punto [pic]
del intervalo [pic]
un número dado por:


[pic]


Si el Wronski ano es distinto de cero en algún punto del intervalo [pic]
, es decir, no es idénticamente nulo, entonces las...