Ecuaciones

TEORIA DE ECUACIONES

INTRODUCCION

A la expresión:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a1x + ao
Se le denomina polinomio de grado n en la variable x
Done: n > 0 es un número entero positivo

Y: an , an-1 , an-2 , . . . a1 , ao son números reales cualquiera.

an ≠ 0 llamado coeficiente principal debe ser necesariamente diferente de cero

ao se llama términoindependiente

Uno de los principales problemas del algebra es encontrar los ceros del polinomio P(x), es decir aquellos valores de “x” que reemplazados de la expresión: P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a1x + ao hacen que P(x) = 0

Esta última expresión P(x) = 0 genera una expresión de la forma

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a1x + ao = 0

Que esla definición de una ecuación polinomica en la que los ceros del polinomio son las raíces o posibles valores de “x” que hacen cero a la ecuación polinomica.

Grado de una ecuación polinomica
El grado de una ecuación polinomica esta dado por n

Numero de raíces de una ecuación polinomica
El numero de raíces o posibles valores de “x” que hacen cero a la ecuación esta dado por el grado de lamisma.

A continuación se hará el estudio detallado de cada uno de los casos de una ecuación polinomica, empezando por la más simple en lo que va a su grado

Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales

Son de la forma: ax + b = 0
• la solución de una ecuación de primer grado es: [pic]
• La grafica de ax + b = 0 se obtiene de y = ax + b igualando a y ó f(x) = ax + bEs una línea recta que tienen por intercepto con los ejes del SCC
Con el eje “X” [pic] y Con el “Y” P2( 0 , b )
a : es la pendiente de la recta y
Ѳ = arc Tan ( a ) ó Ѳ = Tan-1 ( a )

Ecuaciones Polinómicas de segundo grado.

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tiene la forma: ax² + bx + c = 0
Con a ≠ 0 b , c = 0 ó b , c ≠ 0 a , b . c ε R• Raíces de una ecuación de segundo grado
Deducción de una formula que permite obtener las raíces de una ecuación de segundo grado

Si: ax² + bx + c = 0
Completando cuadrados:
[pic] Dado que a ≠ 0
[pic]
[pic] Sumando a ambos miembros [pic]
[pic]
[pic] ( [pic]
[pic]

[pic] Ecuación General
[pic] [pic]• Naturaleza de la raíces de una ecuación de segundo grado
La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado esta dado por
[pic] al que llamaremos discriminante, Entonces
1ro. Si: [pic] > 0
( ax² + bx + c = 0 Tiene dos raíces x1 , x2 distintas

2ro. Si: [pic] = 0
( ax² + bx + c = 0 Tiene raíces iguales: x1 = x2[pic]
3ro. Si: [pic] < 0

Importante! Fue aquí donde se genero la necesidad de crear un nuevo conjunto de número. El conjunto de los números Imaginarios o conjunto de los números complejos. Un conjunto de números en el que exista la raíz cuadrada de un número negativo.
La solución de x² = Δ existe si solo si Δ > 0 y es [pic]Por que tanto [pic] así como [pic]
Pero si Δ < 0 no existe una solución en el conjunto de los números reales
Es asi como se amplia el conjunto de los números al conjunto de los números complejos definido como:

C = { (a , b) = a + bi / a , b ε R ^ i =[pic]} I ² = -1 por definición

( ax² + bx + c = 0Tiene raíces complejas
[pic]
[pic]

• Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática
Si: x1 y x2 son las raíces de una ecuación cuadrática x² + bx + c = 0
( x² + bx + c = ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0
x² + bx + c = x² - ( x1 + x2 ).x + x1. x2 = 0
- b = x1 + x2
c = x1 . x2
Se cumple...