Ecuaciones

1. Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.4.1 Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

Una ecuación diferencial de primer orden, se dice que es lineal en y, si tienela forma o mediante algebra que puede llevarse a la forma siguiente
y1+fxy=rx

y1+fxy=rx

Observe que la característica de este tipo de ecuaciones es el hecho de que la variable y así como y1están elevadas a la potencia 1. Además de que el coeficiente de y es una función de la variable x.

Este tipo de ecuaciones diferenciales recibe además el nombre de ecuación diferencial lineal homogéneacuando el término r(x) es diferente de cero. Recibe el nombre de lineal no-homogénea.

Son muchas las áreas de ingeniería donde aparecen con frecuencia este tipo de ecuaciones diferenciales. Talesel caso en circuitos eléctricos con inductancias y resistencias. Con capacitores y resistencias. Aplicaciones de la segunda ley de Newton tales como sistema masa resorte, caída libre con fricciónproporcional a la velocidad, entre otros.

1.4.1 Solución de la Ecuación Diferencial Lineal.

Para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales lineales, vamos a arreglar la ecuación (1). En unprincipio vamos a escribirla de la forma siguiente.

fxy-rx dx+dy=0

Observe que en (2) se presenta en la forma general de una ecuación diferencial exacta, pero, ¿Será en realidad exacta? o ¿Seránecesario algún factor de integración?

Para resolver lo anterior, vamos a verificar la condición de exactitud y en caso de no serlo, buscamos algún factor de interrogación.

Veamos si la ecuación(2) es una ecuación diferencial exacta.
Nx,y=1
Nx,y=1
Mx,y=fxy-rx
Mx,y=fxy-rx

∂N(x,y)∂y=0
∂N(x,y)∂y=0
∂M(x,y)∂y=f(x)
∂M(x,y)∂y=f(x)

Por tanto no es exacta.
Para buscar un factor deintegración, hacemos la resta
∂M(x,y)∂y-∂N(x,y)∂x=fx-0=f(x)
Por lo que dicha resta debemos dividirla entre N(x,y) para que el cociente sea exclusivamente función de x, Así,

∂M∂y-∂N∂xN=fx-01=f(x)...