ecuaciones

Tema 3 – Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas – Matemáticas B – 4º ESO

1

TEMA 3 – ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
2x 2  1 x  1 1  x


2
3
6

a)

b) x4 – 26x2 + 25 = 0

e x4  4x2  3  0

f)

i) x4 – 9x2 = 0

j)

m)

x 2 5
 
2 x 2

x1  5 x

8
5
2x

p) 2x 

6x  1 3

t) x(4x + 1)(2x – 7)(x2 - 4) = 0
1 5x  1
w) 2x x  1 x 2  5x  6  0 x) 
 7
x x2
5
4x
1)

3
2x  3 2x  3
s)



g) 3 x  2  x  4

h)

1 3
 x3
x x

n)

x  x2 2

q)

x
2x
15


x1 x1 4

u) x(9x2 – 1)(2x + 3 ) = 0

x 4  x1 3



d) 2x4 + 9x2 – 68 = 0

k)

(2x  5)(3x  1) x 2  5 7x  5


1
3
2
6

o) x 

c)4.(5x + 1)2 – 9 = 0



4

2

y) x  3x  4  0

2x
1 5
 
x1 x 6

l) 3x4 – 10x2 – 8 = 0
1
x  2 7


x2
x
4
81
r)
1  2
x3

ñ)

v)

x  1  x  5

z)

5 x  1  3   5x

Solución:
a) Multiplicamos los dos miembros por 6:



6x 2  x  2  0



x





3 2x 2  1  2 x  1  1  x

1  1  48 1  7 

12
12 



6x 2  3  2x  2  1  x

8
2

12 3

Las soluciones son x1 

6 1

12
2

b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2  z:

z 2  26z  25  0



z

26  676  100 26  576 26  24 


2
2
2


2
1
2
50
 25
2

Si z  1  x 2  1  x  1
Si z  25  x 2  25  x  5

Las soluciones de esta ecuación son x 1  1, x 2  1, x 3  5 y x 4  5.
c) Sabemos quesi a2  b2, entonces, o bien a  b o bien a  b.
2

En este caso:

5x  1 

Así:

2

4 5 x  1  9  0 

3
2

5x  1  

 10 x  2  3
3
2

5 x  1

9

4

 10 x  1 

 10 x  2  3

Las soluciones son x1 



 10 x  5

1
1
y x2  .
10
2



2

2

5 x  1
x


3
 
2

1
10
x

5 1

10
2

2
1
y x2  .3
2

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2

d) 2x4 + 9x2 – 68 = 0 equivale a 2z2 + z – 68 = 0, siendo z = x2.
34 17

4
2
9  81 544 9  625 9  25 
z


4
4
4

16
4
4
17
17
Si z 
 x2 
 no hay solución real.
2
2
Si z  4  x 2  4  x  2
Las soluciones pedidas son x1  2 y x 2  2.
e Hacemos el cambio: x2  z x4  z2

Así obtenemos: z 2  4z  3  0  z 

Si z  3



x2  3

4  16  12 4  4 4  2 


2
2
2 

6
3
2
2
1
2

x 3



 Por tanto, hay cuatro soluciones: x1   3, x2  3, x3  1, x 4  1
Si z  1 

x2  1 

x  1

x 2 5
x2
4 5x
f)
  


 x 2  4  5x 
2 x 2
2x 2x 4x

5  25  16 5  9 5  3 
x  5x  4  0  x 


22
2 

x4

2

x 1

g) 3 x  2  x  4  3 x  2  4  x . Elevamos al cuadrado y operamos:

3


h)

2

x 2

  4  x 
2

0  x x 2

2





9 x  2   16  8 x  x 2



9 x  18  16  8 x  x 2

1  1  8 1 9 1  3 
x


2
2
2 

x2
x  1

6( x  1) 5x ( x  1)
2x
1 5
12 x 2
  


 12 x 2  6 x  6  5 x 2  5 x
x1 x 6
6 x ( x  1) 6x ( x  1) 6x ( x  1)






6 3

14
7

x 2  0  x  0

i) x4 - 9x2 = 0  x2(x2 – 9) = 0  

x 2  9  0  x   9  3

 Hay tres soluciones: x1  0, x2  3, x3  3

x 1  5  x  x 1  x  5
2

Elevamos al cuadrado y operamos:


 x  1  x  5 

11  121  96 11  25 11  5 
x


2
2
2


2



x  1  x 2  10 x 25



x8
x  3 no válida 

2

k)

7 x 2  11x  6  0

x2

11  121  168 11  289 11  17 
x


14
14
14


x

j)



1 3
1 3 x
3x
  x 3  

x x
x x
x
x


x

 1 3  x2  3x

3  9  8 3  1 3 1 


2
2
2 

x2
x 1



0  x2  3x  2



0  x 2  11x  24



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