Ecuaciones

ECUACIONES

ECUACIÓN; Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Así, 5X +2 = 17

Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que sólo es verdadera para el valor x= 3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:

5(3) + 2 = 17 o sea 17 = 17

Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

Laigualdad y2 -5y=-6 es una ecuación porque es una igualdad que sólo se verifica para y=2 y y=3. En efecto, sustituyendo la y por 2, tenemos:

22 – 5(2) = -6

4 – 10 = -6

-6 = -6

Si damos a y un valor distinto de 2 0 3, la igualdad no se verifica.

MIEMBROS

Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda delsigno de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

El primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3.

TÉRMINOS

Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o -, o la cantidad que está sola en unmiembro.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

Los términos son 3x, -5, 2x, – 3

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la misma, error muy frecuente en los alumnos.

Miembro y término son equivalentes sólo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad.Así, en la ecuación 3x = 2x + 3

Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación.

CLASES DE ECUACIONES

Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como

4x -5 = x + 4

Donde la única letra es la incógnita x.

Unaecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador como en los ejemplos anteriores.

GRADO

Grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así,

4x – 6 = 3x – 1 y ax + b = b2x + c

Son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1



LA ECUACIÓN

X2 – 5x + 6 = 0

Es unaecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.

RAÍCES O SOLUCIONES

Raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.

Así, en laecuación 5x – 6 = 3x + 8

La raíz es 7 porque haciendo x = 7 se tiene

5(7) – 6 = 3(7) + 8, o sea, 29 = 29

Donde vemos que 7 satisface la ecuación.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.

RESOLVER UNAECUACIÓN

Es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.

AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES

Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales.

REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA

1.- Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa,...